Предел отношения производной и функции

[RikkiTan1]

Доброго времени суток!
Пусть у нас имеется дифференцируемся функция $f\geqslant 0$.
Я рассматриваю выражение $\frac{f{'}^2(x)}{f(x)}$. Это функция не определена в тех точках, где $f(x)=0$.
Заметим, что из неотрицательности $f$ следует, что если $f(x)=0$, то и $f'(x)=0$, и поэтому получается выражение $(\frac{0}{0})$.
Правильно ведь, что если я предположу аналитичность функции $f$ на всей прямой, то функция

$$\frac{f{'}^2(x)}{f(x)}=\begin{cases} \Large \displaystyle \frac{f{'}^2(x)}{f(x)}, & f(x)>0, \\ 2f''(x), & f(x)=0. \\ \end{cases} $$

будет непрерывна?
Мое рассуждение. Везде, где знаменатель не равен нулю, непрерывность следует из теоремы об отношении непрерывных фукнций.
Пусть $f(x)=0$. Если существует окрестность точки $x$, в которой $f(x)\equiv 0$, то все доказано,
иначе можем найти такой минимальный номер $n$, что $f^{(n)}(x)\ne 0$ и

$$ \lim\limits_{t\to x}\frac{f{'}^2(t)}{f(t)}= \lim\limits_{t\to x}\frac{\left(f^{(n)}(x)(t-x)^{n-1}((n-1)!)^{-1}+o(x-t)^{n-1}\right)^2} {f^{(n)}(x)(t-x)^n(n!)^{-1}+o(x-t)^n}= 2f''(x). $$

[ewert]

RikkiTan1 в сообщении #1588137 писал(а):

Правильно ведь, что если я предположу аналитичность функции $f$ на всей прямой, то функция

$$\frac{f{'}^2(x)}{f(x)}=\begin{cases} \Large \displaystyle \frac{f{'}^2(x)}{f(x)}, & f(x)>0, \\ 2f''(x), & f(x)=0. \\ \end{cases} $$

будет непрерывна?

Аналитичность тут совсем не при чём, а при чём просто двукратная дифференцируемость и правило Лопиталя. Ну, правда, если известно, что нули функции изолированы; и, конечно, аналитичностью изолированность нулей обеспечивается; но это уж такая из пушки по воробьям, что даже и неприлично.

[RikkiTan1]

Спасибо. Да, про двукратную дифференцируемость, правило Лопиталя и изолированность нулей, это понятно,
но хотелось бы какой-то стандартный класс функций, и, как кажется, требование принадлежности $f$ даже к $C^\infty$ будет недостаточно,
а в моей иерархии за $C^\infty$ идут как раз аналитические функции .
И в целом, если ведь какие-нибудь интегральные неравенства верны для аналитических функций,
их, вроде бы, часто удается путем приближения перенести и на просто интегрируемые, что как раз и требуется.