Эллиптическое уравнение со слож.гран.условиями

[Николай]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. Нужна помощь со след. задачкой (например в терминах теплопроводности). Найти распределение температуры внутри тороида (a<r<b; 0<z<l. Основания тороида изолированы, Внешняя боковая поверхность поддерживается при нулевой температуре, часть внутренней поверхности изолирована, а часть поддерживается при температуре T_0. Другими словами:
\Delta T=0
z=0: \partial T/\partial z = 0
z=l: \partial T/\partial z = 0
r=b: T = 0
r=a: z=[0,c]: T = T_0
r=a: z=[c,l]: \partial T/\partial r = 0.

Есть ли аналитическое решение? Я пробовал решить методом Фурье, задав граничное условие при r=a: z=[0,c]: T = T_0; z=[c,l]: T = \phi(z). А потом с помощью произвола функции \phi удовлетворить условию r=a: z=[c,l]: \partial T/\partial r = 0. Но по моему так не решить. Конечно, я могу легко получить численное решение, но нужна как раз аналитика, для теста вычислительной программки.

[Yu_K]

http://www.ega-math.narod.ru/Books/BoKra.htm здесь не смотрели А. Н. Боголюбов, В. В. Кравцов «Задачи по математической физике»?

[Николай]

Нет. Смотрел Тихонова, Самарского; Будака Тихонова Самарского и Кошлякова Глинера Смирнова. Сейчас скачаю.

[V.V.]

В Тихонове, Самарском есть список различных криволинейных координат, в которых переменные разделяются.

[ewert]

да здесь-то они точно не разделяются.

Независимо от того, удастся ли пристегнуть метод разложения по собственным функциям (в просторечии именуемый методом разделения переменных). Допустим, удастся. И что? Там непременно вылезут бесселя мнимого аргумента. И не просто бесселя, а в составе ряда Фурье, т.е. аналитически -- в виде частичных сумм этого ряда. А поскольку граничные условия разрывны (на внешнем цилиндре), этот ряд наверняка будет сходиться крайне медленно. Ну и какая ж тут аналитика?...

[Николай]

to V.V. Да здесь то переменные разделяются очень просто - Главная проблемма потом с помощью неизв. коэффициентов удовлетворить граничному условию на внут. поверхности тороида. Я пытался иммитировать его гран. условием третьего рода с нелинейными коэффициентами, но сейчас понял что так тоже врядли пройдёт

to ewert Если есть ряд, просуммировать его как-нибудь удастся (мэйпл рулит). Я получал вполне достойные результаты (числа). Здесь как раз несогласованности гран.условий нет. А если бы и была - тоже ничего страшного, в месте разрыва будет неустранимый дефект, который немного портит вычисления.

[V.V.]

$u(x,y)=-\frac{T_0}{\mbox{\rm ln}\,\frac{b}{a}}(\mbox{\rm ln}\,(\sqrt{x^2+y^2})-\mbox{\rm ln}\, b)$.

[Николай]

to V.V.

Это Вы написали решение одномерной задачи для кольца. Моя задача превращается в эту, если в условии положить c=l. То есть если задать условие Дерихле на всей внут. поверхности тороида. А у меня это условие справедливо только на части внут. поверхности, а на другой части задано условие Неймана \partial T/ \partial r =0. Такое гран. условие имеет ясный физ. смысл в теории фильтрации - часть ствола скважины проперфорирована (через неё идёт приток), а часть - нет (поток равен нулю). Эту задачу решил товарищ Маскет в книжке про фильтрацию однородных жидкостей, но по пути столько наупрощал и нахимичил, что поле давления явно не выписал и получил непонятно как формулу для притока Q[m^3/[sec]] жидкости в скважину. Хотелось решить эту задачу в лоб, но видимо так не получится (хотя Маскет пишет, что можно методом Фурье ). Что самое интересное, численные результаты, полученные мной вчера, прекрасно с формулой Маскета согласуются.

[V.V.]

Да, я ошибся.