Аналитическая геометрия, задать скалярное произведение

[vafli2000]

В векторном пространстве задать скалярное произведение так, чтобы для векторов a(2,0), b(0,1) выполнялось |a|=1, |b|=4, угол (a, b)=60.
Я не могу найти теорию по этой теме, как здесь вообще использовать угол, что вообще значит задать скалярное произведение?
$\cos60$=$\frac{1}{2}$
(a, b)=$\cos\varphi$|a||b|
|a|=$\frac{(a, b)}{|b|\cdot\dfrac{1}{2}}$
1=$\frac{(a, b)}{2}$
(a, b)=2
по координатам 2$\cdot$0+0$\cdot$1=2
ну тут я вообще ничего не сделала, просто подставила. А как задавать скалярное произведение?

[Ende]

vafli2000
Даже одиночные обозначения нужно набирать как формулы. Не a(2,0), а $a(2,0)$, и так далее.
И оформляйте правильно всю формулу, а не ее часть. Один знак доллара должен быть в начале формулы и один в конце, а промежуточных не надо. Должно быть $(a, b)=\cos\varphi|a||b|$, а не как у Вас, и в других формулах аналогично.
На первый раз в карантин не понесу, в следующий раз - обязательно.

[ewert]

vafli2000 в сообщении #1586180 писал(а):

что вообще значит задать скалярное произведение?

Это действительно вопрос, но это вопрос к составителю задачи -- что он имел в виду.

Возможно, требовалось предъявить два ортонормированных (относительно нового скалярного произведения) вектора.
Собственно, один по условию уже есть -- это $\vec a$, а другой получается ортогонализацией $\vec b$ к $\vec a$, т.е. вычитанием из $\vec b$ его проекции на $\vec a$ (только потом результат надо ещё отнормировать; и всё это, естественно, относительно нового скалярного произведения).

Но, возможно, имелась в виду общая форма записи нового произведения в каноническом базисе: $(\vec x,\vec y)=\sum\limits_{i,k=1}^2m_{ik}\,x_k\,y_i$, где $M$ -- некоторая симметричная положительно определённая матрица. Тогда всё совсем просто: те три условия, предъявленных к $\vec a$ и $\vec b$, сразу же дают значения $m_{11}$, $m_{22}$ и $m_{12}$ соответственно (вообще говоря, давали бы для них систему, но тут сразу).

vafli2000 в сообщении #1586180 писал(а):

как здесь вообще использовать угол

Ну для подсчёта скалярного произведения, конечно, что Вы и сделали.

[vafli2000]

ewert в сообщении #1586195 писал(а):

Но, возможно, имелась в виду общая форма записи нового произведения в каноническом базисе: $(\vec x,\vec y)=\sum\limits_{i,k=1}^2m_{ik}\,x_k\,y_i$, где $M$ -- некоторая симметричная положительно определённая матрица. Тогда всё совсем просто: те три условия, предъявленных к $\vec a$ и $\vec b$, сразу же дают значения $m_{11}$, $m_{22}$ и $m_{12}$ соответственно (вообще говоря, давали бы для них систему, но тут сразу).

$M$ - это матрица Грама? У нее такие же свойства.
Я не понимаю, откуда брать $m_{11}$, $m_{22}$ и $m_{12}$.

[bot]

vafli2000 в сообщении #1586263 писал(а):

Я не понимаю, откуда брать $m_{11}$, $m_{22}$ и $m_{12}$

Из матрицы Грама.