Дифференцирование тензора по координатам

[ptor00]

Добрый день. Вопрос по дифференцированию тензоров.
Имеется тензор следующего вида: ($\vec{r}$ - радиус-вектор)

$T_{ik} = A(r)\delta_{ik} + B(r)\frac{r_ir_k}{r^2}$.

И далее говорится: дифференцированием по $r_k$ получаем соотношение на коэффициенты:

$A' + B' + \frac{2}{r}B = 0$.

$'$ - дифференцирование по r, то что в правой части 0 известно из других соображений.
Не могу понять, как так производится дифференцирование. По идее же при дифференцирование ранг возрастает на единицу. Каким-то образом делается свертка? Как-то подогнать под то что должно получиться у меня не вышло, буду благодарен за помощь.

[Утундрий]

ptor00 в сообщении #1586037 писал(а):

$T_{ik} = A(r) + B(r)\frac{r_ir_k}{r^2}$.

Это не тензор, так как нарушен баланс индексов.

[ptor00]

Виноват, опечатка, исправил

[Утундрий]

Судя по результату, от вас хотят тензор указанного вида, но с нулевой дивергенцией.

[Cos(x-pi/2)]

Да, видимо, так.

Подробности, как дифференцировать:

Чтобы не запутаться, можно сначала написать без всякой свёртки выражение для производной по $r_l,$ то есть выражение для $\dfrac{\partial T_{ik}}{\partial r_l}.$ Дифференцировать надо спокойно, без паники, вдумываясь в каждый сомножитель в каждом слагаемом.

Тогда среди сомножителей в слагаемых в правой стороне появятся, наряду с прочими, такие выражения:

$\dfrac{\partial r}{\partial r_l}=\dfrac{r_l}{r}$

$\dfrac{\partial r^{-2}}{\partial r_l}=-2\,r^{-3}\,\dfrac{r_l}{r}$

$\dfrac{\partial r_i}{\partial r_l}=\delta_{il}$

$\dfrac{\partial r_k}{\partial r_l}=\delta_{kl}$

где $\delta_{ik}$ это символ Кронекера (то есть $\delta_{ik}=0$ при $i \neq k$ и $\delta_{ik}=1$ при $i = k).$

Ваши слова "то что в правой части 0 известно из других соображений" вероятнее всего означают, что речь идёт об условии $\dfrac{\partial T_{ik}}{\partial r_k}=0.$ Если так, то нулю пиравнивается сумма (она и называется свёрткой) тех тензорных компонент $\dfrac{\partial T_{ik}}{\partial r_l},$ у которых $l=k.$ В тензорных выражениях всегда подразумевается суммирование по дважды повторяющемуся буквенному индексу.

Тогда во всех слагаемых получившегося на предыдущем этапе выражения для $\dfrac{\partial T_{ik}}{\partial r_l}$ заменяем индекс $l$ индексом $k$ и считаем, что в процессе суммирования он пробегает значения $1,2,3.$ Индекс $i$ при суммировании по $k$ имеет постоянное значение, одно из $1,2,3.$

При этом среди сомножителей в слагаемых в правой стороне будут, наряду с прочими, такие выражения:

$r_k \delta_{ik}=r_i$

$r_k r_k=r^2$

$\delta_{kk}=3.$

В конце-концов, после приведения подобных членов, выносится за скобку $r_i/r$ и образуется равенство

$\dfrac{\partial T_{ik}}{\partial r_k}=\left (A'+B'+\dfrac{2B}{r} \right ) \dfrac{r_i}{r}.$

Приравняв его "из других соображений" к нулю, Вы и получите желаемое соотношение для функций $A$ и $B.$

[Утундрий]

Ну, тогда, чтобы ТС имел возможность хоть что-нибудь сделать сам, задачка:
Визуально глазами видно, что найденный бездивергентный тензор фактически зависит от одной произвольной функции. Однако, просто так вышвырнуть $a$ или $b$ не получится. Поэтому сочините такие их "простые" выражения через новую произвольную функцию $f$, чтобы требуемое равенство выполнялось тождественно.

Простые, значит без квадратур там всяких.

[ptor00]

Cos(x-pi/2)
Большое спасибо за столь подробный ответ. Эх, совсем я видимо дурацкие вопросы задаю...

Там ноль в правой части, потому что этот тензор приравнивается такому выражению:
$T_{ik} = 2(<v_i(\vec{r_1})v_k(\vec{r_1})> - <v_i(\vec{r_1})v_k(\vec{r_2})>)$
Правую часть дифференцируем по $r_{2k}$, так как $T_{ik}$ зависит только от $\vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$, поэтому дифференцирование по $r_{k}$ и $r_{2k}$ эквивалентно.
И из уравнения непрерывности $div\vec{v} = 0$ получается ноль.

-- 20.03.2023, 00:50 --

Утундрий
Могу записать в виде степенной функции: $A = -\frac{n+2}{n}r^n, B = r^n$.

Ну или в квадратурах: $A = -B-2\int{\frac{Bdr}{r}}$.

Придумать через произвольную функцию сходу не получается.

-- 20.03.2023, 01:03 --

Можно $B$ разложить в ряд: $B=\sum\limits_{n=0}^{\infty}C_nr^n$.
Тогда $A = -\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1+\frac{2}{n})C_nr^n - 2C_0\ln{r}$.

[svv]

Подсказка: пусть $A+B$ известно.

[Утундрий]

ptor00 в сообщении #1586071 писал(а):

тензор приравнивается такому выражению:

$$T_{ik} = 2(<v_i(\vec{r_1})v_k(\vec{r_1})> - <v_i(\vec{r_1})v_k(\vec{r_2})>)$$

Это выражение несимметрично, в отличие от использованного выше анзаца.

[ptor00]

Утундрий
Из-за изотропии в задаче выполняется такое соотношение: $<v_i(\vec{r_1})v_k(\vec{r_2})> = <v_i(\vec{r_2})v_k(\vec{r_1})>$

[svv]

ptor00 в сообщении #1586071 писал(а):

тензор приравнивается такому выражению:
$T_{ik} = 2(<v_i(\vec{r_{\color{magenta}1}})v_k(\vec{r_{\color{magenta}1}})> - <v_i(\vec{r_{\color{magenta}1}})v_k(\vec{r_{\color{magenta}2}})>)$

Выделенные индексы именно такие? один, один, один, два?

[ptor00]

svv в сообщении #1586222 писал(а):

Выделенные индексы именно такие? один, один, один, два?

Да. Изначально было:
$T_{ik} = <(v_i(\vec{r_2}) - v_i(\vec{r_1}))(v_k(\vec{r_2}) - v_k(\vec{r_1}))>$.
Из однородности: $<v_i(\vec{r_1})v_k(\vec{r_1})> = <v_i(\vec{r_2})v_k(\vec{r_2})>$.
Из изотропности: $<v_i(\vec{r_1})v_k(\vec{r_2})> = <v_i(\vec{r_2})v_k(\vec{r_1})>$.

[Утундрий]

ptor00
Задачку-то решили? Как подсказано, обзовите $A+B \equiv f$.

[ptor00]

Утундрий

Так смог записать:
$A(r) = -f^2(\ln{r}) - f(\ln{r})$
$B({r}) = f(\ln{r})$

[svv]

Имелось в виду вот что. Пусть $f=A+B$, тогда уравнение $A' + B' + \frac{2}{r}B = 0$ можно записать как $f'+\frac{2}{r}B = 0$ и выразить из него $B$, а зная $A+B$ и $B$, найти $A$.