Задача по геометрии

[ILYA_First]

Всем доброго времени суток!

у меня есть задача по геометрии: доказать, что центр окружности единичного радиуса, касающейся сторон 3хгранного прямого угла, лежит на сфере.

Я в принципе придумал, как ее решать.
Я рассматривал трехгранный угол как образованный координатными плоскостями.
Далее поместим окружность в плоскость XY, так что бы она касалась плоскостей XZ и YZ. теперь будем перемещать ее в плоскость XZ так, что бы выполнялось требование из условия задачи. при этом я доказываю, что центр будет двигаться по окружности радиуса 1. Аналогично рассматриваю и перемещения окружности в плоскость YZ, а так же из XZ в YZ. В итоге получаем, что при движении окружности по 3м направлениям ее центр лежит на окружностях, которые в свою очередь лежат в попарноперпендикулярных плоскостях. И значит, центр лежит и на сфере.

ну вот. вроде так. но только что-то мне кажеться, что здесь ошибка. Помогите разобраться, пожалуйста.

[Владимир_Руб]

какая сфера-то? может вы имеете ввиду, что центры всех таких окружностей лежат на какой-то сфере?

[ewert]

ILYA_First в сообщении #158578 писал(а):

при движении окружности по 3м направлениям ее центр лежит на окружностях, которые в свою очередь лежат в попарноперпендикулярных плоскостях. И значит, центр лежит и на сфере

нет, конечно, не значит. Из того, что сечения поверхности тремя плоскостями хороши ещё не следует, что и все остальные сечения тоже будут хорошими.

[ILYA_First]

Владимир_Руб писал(а):

какая сфера-то? может вы имеете ввиду, что центры всех таких окружностей лежат на какой-то сфере?

Да, конечно. прошу прощения. нужно доказать, что центры всех таких окружностей лежат на сфере

[TOTAL]

Плоскость, в которой лежит окружность, пересечет ребра угла в точках $x, y, z$.
Площадь тр-ка $xyz$ равна $S=0.5\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$.
Координаты центра вписанной в этот тр-к окружности равны $X=x\frac{0.5\sqrt{y^2+z^2}}{S}, Y=\cdots, Z=\cdots$.
$X^2+Y^2+Z^2=2$

[ewert]

TOTAL писал(а):

Координаты центра вписанной в этот тр-к окружности равны $X=x\frac{0.5\sqrt{y^2+z^2}}{S}, Y=\cdots, Z=\cdots$.

Во-первых, ${z\over r}={c\over 2S/\sqrt{a^2+b^2}}$, что в Ваших экзотических обозначениях и впрямь даст (с учётом $r=1$) $Z={z\cdot\sqrt{x^2+y^2}\over2S}$ и далее циклически. Во-вторых, неплохо бы объяснить, почему -- даже мой вариант сходу вовсе не так очевиден.