Действительное число называется нормальным по основанию
![$10$ $10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/c/b0c08f9b595a704efb907fc688034d8082.png)
, если при записи его в десятеричной системе счисления для любого натурального
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
любой кортеж из
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
десятичных цифр встречается с асимптотической частотой
![$10^{-k}$ $10^{-k}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/a/b7a9193b1710261368b39e8367e561e682.png)
. Нормальность по другим степеням нас сейчас не интересует.
Известно, что числа, нормальные по основанию
![$10$ $10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/c/b0c08f9b595a704efb907fc688034d8082.png)
, составляют на отрезке
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
множество меры
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
.
Неизвестно, является ли нормальным по основанию
![$10$ $10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/c/b0c08f9b595a704efb907fc688034d8082.png)
число
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
.
Назовем число сносным по основанию
![$10$ $10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/c/b0c08f9b595a704efb907fc688034d8082.png)
, если при записи его в десятеричной системе счисления для любого натурального
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
любой кортеж из
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
десятичных цифр встречается хотя бы один раз. Очевидно, всякое нормальное по основанию
![$10$ $10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/c/b0c08f9b595a704efb907fc688034d8082.png)
число является и сносным. Но не наоборот. В качестве контрпримера достаточно взять нормальное число и между каждыми двумя цифрами засунуть, скажем, цифру
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
. Число останется иррациональным и сносным, но уже не будет нормальным.
Очевидно также, что не всякое иррациональное число является сносным по основанию
![$10$ $10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/c/b0c08f9b595a704efb907fc688034d8082.png)
. Достаточно записать иррациональное число в двоичной системе, а потом объявить, что это десятеричная запись.
Вопросы: есть ли для сносных по основанию
![$10$ $10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/c/b0c08f9b595a704efb907fc688034d8082.png)
чисел официальное название? Есть ли про них теоремы? Доказано ли, что число
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
сносное по основанию
![$10$ $10$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/c/b0c08f9b595a704efb907fc688034d8082.png)
?
(Оффтоп)
Если спросите, зачем мне это надо. Да низачем. Любопытство.