Ослабленные нормальные числа и число пи

[Anton_Peplov]

Действительное число называется нормальным по основанию $10$, если при записи его в десятеричной системе счисления для любого натурального $k$ любой кортеж из $k$ десятичных цифр встречается с асимптотической частотой $10^{-k}$. Нормальность по другим степеням нас сейчас не интересует.
Известно, что числа, нормальные по основанию $10$, составляют на отрезке $[0, 1]$ множество меры $1$.
Неизвестно, является ли нормальным по основанию $10$ число $\pi$.

Назовем число сносным по основанию $10$, если при записи его в десятеричной системе счисления для любого натурального $k$ любой кортеж из $k$ десятичных цифр встречается хотя бы один раз. Очевидно, всякое нормальное по основанию $10$ число является и сносным. Но не наоборот. В качестве контрпримера достаточно взять нормальное число и между каждыми двумя цифрами засунуть, скажем, цифру $5$. Число останется иррациональным и сносным, но уже не будет нормальным.

Очевидно также, что не всякое иррациональное число является сносным по основанию $10$. Достаточно записать иррациональное число в двоичной системе, а потом объявить, что это десятеричная запись.

Вопросы: есть ли для сносных по основанию $10$ чисел официальное название? Есть ли про них теоремы? Доказано ли, что число $\pi$ сносное по основанию $10$?

(Оффтоп)

Если спросите, зачем мне это надо. Да низачем. Любопытство.

[mihaild]

Anton_Peplov в сообщении #1585285 писал(а):

В качестве контрпримера достаточно взять нормальное число и между каждыми двумя цифрами засунуть, скажем, цифру $5$.

Так если между каждыми двумя, то кортеж $11$ уже встречаться не будет. Но можно например через каждые $2^n$ знаков засунуть $2^n$ пятерок.

Anton_Peplov в сообщении #1585285 писал(а):

Вопросы: есть ли для сносных по основанию $10$ чисел официальное название?

Википедия утверждает, что они называются богатыми или дизъюнктивными, OEIS называет дизъюнктивными или универсальными.

Anton_Peplov в сообщении #1585285 писал(а):

Доказано ли, что число $\pi$ сносное по основанию $10$?

Википедия утверждает, что даже неизвестно, содержится ли в записи числа $\pi$ бесконечное количество пятерок, так что не должно быть доказано.

[zykov]

Anton_Peplov в сообщении #1585285 писал(а):

между каждыми двумя цифрами засунуть, скажем, цифру $5$. Число останется иррациональным и сносным, но уже не будет нормальным.

Разве оно будет "сносным"? Например где кортеж "111"? Любой кортеж динны 3 будет либо "x5y", либо "5z5"...

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Я как-то ради интереса нашёл в числе пи номера всех знакомых, для 7-значных хватило первых 400млрд знаков.
Плюс в нём встречаются весьма интересные кортежи, типа 17 шестёрок подряд с позиции 28`642224`609576 после запятой (A096760/A050285), или первые 15 знаков числа $e$ начиная с позиции 56`004963`308118 (A090898), или первые 14 знаков числа $\sqrt{3}$ с позиции 97`356078`010043 (в OEIS нет), или все десятичные записи степеней двойки вплоть до 45-й (A194351), или много других забавных. К сожалению пока известны только первые 100трлн знаков числа $\pi$ и продолжить эти кортежи не удалось.
По математике мне сказать нечего.

[Anton_Peplov]

zykov в сообщении #1585292 писал(а):

Разве оно будет "сносным"? Например где кортеж "111"? Любой кортеж динны 3 будет либо "x5y", либо "5z5"...

mihaild в сообщении #1585287 писал(а):

Так если между каждыми двумя, то кортеж $11$ уже встречаться не будет.

Да, это я сглупил. Но идея понятна.

Спасибо!