2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ослабленные нормальные числа и число пи
Сообщение13.03.2023, 14:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8035
Действительное число называется нормальным по основанию $10$, если при записи его в десятеричной системе счисления для любого натурального $k$ любой кортеж из $k$ десятичных цифр встречается с асимптотической частотой $10^{-k}$. Нормальность по другим степеням нас сейчас не интересует.
Известно, что числа, нормальные по основанию $10$, составляют на отрезке $[0, 1]$ множество меры $1$.
Неизвестно, является ли нормальным по основанию $10$ число $\pi$.

Назовем число сносным по основанию $10$, если при записи его в десятеричной системе счисления для любого натурального $k$ любой кортеж из $k$ десятичных цифр встречается хотя бы один раз. Очевидно, всякое нормальное по основанию $10$ число является и сносным. Но не наоборот. В качестве контрпримера достаточно взять нормальное число и между каждыми двумя цифрами засунуть, скажем, цифру $5$. Число останется иррациональным и сносным, но уже не будет нормальным.

Очевидно также, что не всякое иррациональное число является сносным по основанию $10$. Достаточно записать иррациональное число в двоичной системе, а потом объявить, что это десятеричная запись.

Вопросы: есть ли для сносных по основанию $10$ чисел официальное название? Есть ли про них теоремы? Доказано ли, что число $\pi$ сносное по основанию $10$?

(Оффтоп)

Если спросите, зачем мне это надо. Да низачем. Любопытство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ослабленные нормальные числа и число пи
Сообщение13.03.2023, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8199
Цюрих
Anton_Peplov в сообщении #1585285 писал(а):
В качестве контрпримера достаточно взять нормальное число и между каждыми двумя цифрами засунуть, скажем, цифру $5$.
Так если между каждыми двумя, то кортеж $11$ уже встречаться не будет. Но можно например через каждые $2^n$ знаков засунуть $2^n$ пятерок.
Anton_Peplov в сообщении #1585285 писал(а):
Вопросы: есть ли для сносных по основанию $10$ чисел официальное название?
Википедия утверждает, что они называются богатыми или дизъюнктивными, OEIS называет дизъюнктивными или универсальными.
Anton_Peplov в сообщении #1585285 писал(а):
Доказано ли, что число $\pi$ сносное по основанию $10$?
Википедия утверждает, что даже неизвестно, содержится ли в записи числа $\pi$ бесконечное количество пятерок, так что не должно быть доказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ослабленные нормальные числа и число пи
Сообщение13.03.2023, 15:12 


18/09/21
1669
Anton_Peplov в сообщении #1585285 писал(а):
между каждыми двумя цифрами засунуть, скажем, цифру $5$. Число останется иррациональным и сносным, но уже не будет нормальным.
Разве оно будет "сносным"? Например где кортеж "111"? Любой кортеж динны 3 будет либо "x5y", либо "5z5"...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ослабленные нормальные числа и число пи
Сообщение13.03.2023, 15:26 
Заслуженный участник


20/08/14
10916
Россия, Москва

(Оффтоп)

Я как-то ради интереса нашёл в числе пи номера всех знакомых, для 7-значных хватило первых 400млрд знаков.
Плюс в нём встречаются весьма интересные кортежи, типа 17 шестёрок подряд с позиции 28`642224`609576 после запятой (A096760/A050285), или первые 15 знаков числа $e$ начиная с позиции 56`004963`308118 (A090898), или первые 14 знаков числа $\sqrt{3}$ с позиции 97`356078`010043 (в OEIS нет), или все десятичные записи степеней двойки вплоть до 45-й (A194351), или много других забавных. К сожалению пока известны только первые 100трлн знаков числа $\pi$ и продолжить эти кортежи не удалось. ;-)
По математике мне сказать нечего. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Ослабленные нормальные числа и число пи
Сообщение13.03.2023, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8035
zykov в сообщении #1585292 писал(а):
Разве оно будет "сносным"? Например где кортеж "111"? Любой кортеж динны 3 будет либо "x5y", либо "5z5"...

mihaild в сообщении #1585287 писал(а):
Так если между каждыми двумя, то кортеж $11$ уже встречаться не будет.
Да, это я сглупил. Но идея понятна.

Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group