Натуральные числа
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
,
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
,
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
таковы, что
![$$ x^4 + y^4 + 17^4 = 17nxy $$ $$ x^4 + y^4 + 17^4 = 17nxy $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/d/b9dd7c1e76499c1a70c1a6279247894482.png)
Верно ли, что если
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не делится на 17, то
![$x = 1$ $x = 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/1/8614628c35cbd72f9732b246c2e4d7b882.png)
или
![$x = 2$ $x = 2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/9/ed9cfbac1ead3f54087d281a8914801082.png)
?
Что можно сказать: если
![$x>2\wedge17\not|x$ $x>2\wedge17\not|x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/0/e50c7bcfb2a7713c029bc0623bd3767782.png)
, то
![$4\not|x$ $4\not|x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/e/2be8f47cb868b2a61ef99b2427e7926b82.png)
и наименьший возможный нечетный простой делитель
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
- это
![$m=41$ $m=41$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/1/de1c2f543ebf01166fb4cae99e8e03b582.png)
. Меньшие значения делителя дают невозможные варианты для сравнения
![$y^4+17^4\equiv0\pmod{m}$ $y^4+17^4\equiv0\pmod{m}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/b/d9b3a011e4376f151c648a5c882a5f2882.png)
, а для
![$m=41$ $m=41$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/1/de1c2f543ebf01166fb4cae99e8e03b582.png)
теоретически возможны
![$y\bmod{m}\in\{8,10,31,33\}$ $y\bmod{m}\in\{8,10,31,33\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/b/c0bd3e99ef4ac64a47db3b883eb884c682.png)
(я просто перебирал и на этом пока остановился). При этом,
![$x^4+y^4$ $x^4+y^4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/4/2c4fb56e5374c7e15c0e5bf6dff698de82.png)
еще должны не забывать делиться на
![$17$ $17$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/2/da2d2542823daca235ebe489b76887bb82.png)
, да и у самого
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
наименьший нечетный простой делитель должен превышать
![$41$ $41$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/f/57f24c92347b553ce05216fb62cb408682.png)
, довольно много ограничений на потенциальное решение.
-- 12.03.2023, 13:29 --И да: следующее возможное значение
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
- это
-- 12.03.2023, 13:54 --Ага, видимо в качестве простого делителя подходят простые вида
![$8k+1$ $8k+1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/2/7621503d6d6d399bab7351044adbf73282.png)
:
A007519