Верно ли, что нет других решений?

[mathematician123]

Натуральные числа $x$, $y$, $n$ таковы, что

$$ x^4 + y^4 + 17^4 = 17nxy $$

Верно ли, что если $x$ не делится на 17, то $x = 1$ или $x = 2$?

[mathematician123]

Подсказка:

(Оффтоп)

Решение есть. Найти его можно без использования компьютера.

[revos]

То есть, вы ответ для поставленной задачи знаете и проверяете форум "на вшивость" ( в РККА была такая проверка на "форму 20")

[svv]

revos
Раздел Помогите решить / разобраться (М): автор темы не знает решения задачи и просит других помочь.
Раздел Олимпиадные задачи (М): автор темы знает решение задачи и предлагает её другим.

[waxtep]

mathematician123 в сообщении #1584655 писал(а):

Натуральные числа $x$, $y$, $n$ таковы, что

$$ x^4 + y^4 + 17^4 = 17nxy $$

Верно ли, что если $x$ не делится на 17, то $x = 1$ или $x = 2$?

Что можно сказать: если $x>2\wedge17\not|x$, то $4\not|x$ и наименьший возможный нечетный простой делитель $x$ - это $m=41$. Меньшие значения делителя дают невозможные варианты для сравнения $y^4+17^4\equiv0\pmod{m}$, а для $m=41$ теоретически возможны $y\bmod{m}\in\{8,10,31,33\}$ (я просто перебирал и на этом пока остановился). При этом, $x^4+y^4$ еще должны не забывать делиться на $17$, да и у самого $y$ наименьший нечетный простой делитель должен превышать $41$, довольно много ограничений на потенциальное решение.

-- 12.03.2023, 13:29 --

И да: следующее возможное значение $m$ - это $73$

-- 12.03.2023, 13:54 --

Ага, видимо в качестве простого делителя подходят простые вида $8k+1$: A007519

[mathematician123]

waxtep в сообщении #1585179 писал(а):

Ага, видимо в качестве простого делителя подходят простые вида $8k+1$

Да, нечётные простые делители $x$ и $y$ имеют вид $8k+1$. Доказывается с помощью малой теоремы Ферма. Но для решения исходной задачи это не важно. Маленьких решений у уравнения нет и перебор здесь не поможет.