Описанные окружности четырех треугольников имеют общую точку

[zgemm]

Даны два параллелограмма $ABCD$ и $AECF$ с общей диагональю $AC$, где $E$ и $F$ лежат внутри параллелограмма $ABCD$.
Показывать, что описанные окружности треугольников $AEB$, $BFC$, $CED$ и $DFA$ имеют общую точку.

[wrest]

zgemm в сообщении #1584200 писал(а):

где $E$ и $F$ лежат внутри параллелограмма $ABCD$.

Это даже кажется лишним, если за описанную окружность вырожденного треугольника взять прямую.
Есть конечно второй случай когда они все вписаны в одну и тоже окружность и общих точек бесконечное количество. Но по крайней мере одна есть всегда.

[zgemm]

wrest в сообщении #1584203 писал(а):

Есть конечно второй случай когда они все вписаны в одну и тоже окружность и общих точек бесконечное количество.

А когда там одна окружность получается?

[wrest]

zgemm в сообщении #1584209 писал(а):

А когда там одна окружность получается?

Когда оба параллелограмма вписаны в неё. Но конечно, тогда условие

zgemm в сообщении #1584200 писал(а):

где $E$ и $F$ лежат внутри параллелограмма $ABCD$.

не выполняется.

(Пример)

[zgemm]

А, точно, спасибо! Но ведь тогда оба параллелограмма будут одинаковы и равны квадрату, или я что-то не заметил?

[wrest]

zgemm в сообщении #1584211 писал(а):

или я что-то не заметил?

Ага.

[wrest]

В общем, плодотворных мыслей у меня нет. Так что буду ждать решения.

[zgemm]

zgemm в сообщении #1584200 писал(а):

Даны два параллелограмма $ABCD$ и $AECF$ с общей диагональю $AC$, где $E$ и $F$ лежат внутри параллелограмма $ABCD$.
Показывать, что описанные окружности треугольников $AEB$, $BFC$, $CED$ и $DFA$ имеют общую точку.

Рассмотрим окружности вокруг двух пар треугольников, а именно $AEB$ и $CED$ еще одной пары $BFC$ и $DFA$. Очевидно, что эти пары окружностей имеют общюю точку пересечения внутри каждой пары, а вот между парами - мы пока сказать не можем. Обозначим $P$ точкой пересечения окружностей треугольников $AEB$ и $CED$ и $Q$ точкой пересечения окружностей треугольников $BFC$ и $DFA$. Заметим, что сумма противолежащих углов у $P$ и $Q$ попарно равны 180.

Дальше рассказывать? Или у кого-то есть красивее решение?

[zgemm]

Кстати, ЧатГПТ задачу не знает, в отличие большинства задач из олимпиадных учебников, я пробовал эту задачу туда скормить по-русски и по-английски, и каждый раз получал какое-то неадекватное решение, хотя конечно видно было, что ЧатГПТ старался ее решить.

[wrest]

zgemm в сообщении #1584404 писал(а):

Заметим, что сумма противолежащих углов у $P$ и $Q$ попарно равны 180.

Каких углов?

zgemm в сообщении #1584404 писал(а):

Очевидно, что эти пары окружностей имеют общюю точку пересечения внутри каждой пары

Ну, по крайней мере $E$ и $F$. Какая-то из пар окружностей может, в принципе, касаться (т.е. в ваших обозначениях $E$ будет совпадать с $P$ или например $F$ будет совпадать с $Q$). Но не обе пары одновременно, вроде.

[zgemm]

wrest в сообщении #1584494 писал(а):

Каких углов?

$\angle APB + \angle CPD = \angle APC + \angle BPD = 180^o$

wrest в сообщении #1584494 писал(а):

Какая-то из пар окружностей может, в принципе, касаться (т.е. в ваших обозначениях $E$ будет совпадать с $P$ или например $F$ будет совпадать с $Q$). Но не обе пары одновременно, вроде.

Ага, верно, про касание я не подумал, но вроде не мешает.

[wrest]

zgemm в сообщении #1584503 писал(а):

$\angle APB + \angle CPD = \angle APC + \angle BPD = 180^o$

У меня 180 не получается.