Экстремальное расположение зарядов на сфере

[мат-ламер]

Тематика поста навеяна статьёй Н.Н. Андреева и В.А. Юдина "Экстремальные расположения точек на сфере" ("Математическое просвещение" , третья серия, вып.1). На сфере рассматривается система из $n$ одинаковых точечных электрических зарядов. Причём заряды располагаются так, что минимизируется суммарная потенциальная энергия их взаимодействия. Можно считать, что это равновесное положение зарядов в проводнике (металлическом шаре). Стоит вопрос, что можно сказать о их расположении для разных $n$ ? Для небольших $n$ (например для всех $n \le 6$ и для некоторых конкретных $n > 6$ ) задача решается вполне конкретно и определённо. В общем случае для больших $n$ известна асимптотика суммарной потенциальной энергии для оптимальной конфигурации. В статье обстоятельно рассматриваются случаи $n=6$ и $n=12$ . Меня заинтересовал вопрос, а что можно конкретного сказать вообще для случая больших $n$ ?

Гипотеза 1. Для некоторых $n$ заряды будут располагаться в узлах шестиугольной сетки.

Гипотеза 2. Для некоторых $n$ к этим шестиугольникам будут добавляться очень ограниченное число пятиугольников.

Поскольку теоретические вопросы для меня сильно сложны, я пока решил сосредоточиться на экспериментальном исследовании вопроса. Поэтому у меня пока вопрос к форуму, какие вычислительные методы для решения данного вопроса для конкретных больших $n$ можно порекомендовать? Пока я "на коленке" (то есть достаточно быстро, но не обстоятельно) запрограммировал метод проекции градиента. То есть каждый заряд на каждом шаге продвигается в направлении общей силы, действующей на него. Причём шаг движения пропорционален этой силе с некоторым коэффициентом пропорциональности. Начальное расположение зарядов выбирается случайно вблизи центра шара. В процессе оптимизации энергии заряды постепенно двигаются к границе шара и наконец оказываются на сфере. Если на следующей итерации заряд оказывается вышедшим за границы шара, то он возвращается на сферу методом проектирования. Метод, хотя и рабочий, но сильно не оптимальный. Хочется чего-то, работающего намного быстрее.

[alisa-lebovski]

Почему бы сразу не расположить заряды на сфере, используя сферические координаты.

[мат-ламер]

alisa-lebovski в сообщении #1584242 писал(а):

Почему бы сразу не расположить заряды на сфере, используя сферические координаты.

У меня была вчера такая мысль. Пока у меня следующие предварительные соображения на этот счёт.
1) Исходная задача у нас - оптимизационная задача с ограничениями. Вводя сферические координаты, мы получаем задачу без ограничений. (Получается как-бы периодическая функция на торе). Но у меня пока сильное подозрение, что эта задача будет в вычислительном аспекте сильно хуже исходной. Но это только подозрение. Надо будет проверить.
2) Хотелось бы вообще поднять свой уровень по методам решений задач с ограничениями.
3) В перспективе хотелось бы рассмотреть, как располагаются заряды не только на сфере.
4) Сильно хотелось получить экспериментальное подтверждение, что заряды будут располагаться на сфере и не будет зарядов во внутренних точек шара. Интуитивно кажется, что на сфере им будет сильно тесно, а во всём шаре как-то по просторнее будет. Но это обманчивое впечатление.

Но мысль интересная и заслуживает внимание.

На всякий случай приведу вид минимизируемой функции. Пусть единичные положительные заряды располагаются в точках $x_i = (x_i^1,x_i^2,x_i^3) \in R^3$ . Тогда потенциальная энергия их взаимодействия имеет вид $E(x_1,...,x_n)=\sum\limits_{i>j} \frac{1}{|x_i-x_j|}$ . Расстояние между двумя точками у меня обозначено (как в физических текстах) одинарными палочками.

На всякий случай приведу ссылку на журнал "Математическое просвещение" https://www.mccme.ru/free-books/matpros2.html . Смотрите первую статью в разделе "Наш семинар".

[Dmitriy40]

мат-ламер в сообщении #1584244 писал(а):

Вводя сферические координаты, мы получаем задачу без ограничений.

Ничто не мешает ограничить $R\le1$ - ровно Ваши ограничения на невыход за пределы сферы. Но вот расстояния считать ... Кажется идея сферических координат понятнее человеку, но вычислительно сложнее.

мат-ламер в сообщении #1584244 писал(а):

4) Сильно хотелось получить экспериментальное подтверждение, что заряды будут располагаться на сфере и не будет зарядов во внутренних точек шара. Интуитивно кажется, что на сфере им будет сильно тесно, а во всём шаре как-то по просторнее будет. Но это обманчивое впечатление.

Рассмотрим более простую плоскую задачу о размещении 12-ти точек либо равномерно по окружности, либо с одной в центре. В первом случае получим энергию $59.81$, во втором $59.58$. Так что предположение об уходе всех зарядов на окружность/сферу можно считать опровергнутым.
Программа вычисления энергии (PARI/GP, нумерация точек с нуля):

? n=12; s=0; for(a=0,n-1, xa=cos(2*Pi*a/n); ya=sin(2*Pi*a/n); for(b=a+1,n-1, xb=cos(2*Pi*b/n); yb=sin(2*Pi*b/n); s+=1/sqrt((xa-xb)^2+(ya-yb)^2); )); print(s)
59.807361517912216645287326607752374640 - 12 точек равномерно по окружности
? n=12; n1=n-1; s=0; for(a=1,n-1, xa=cos(2*Pi*a/n1); ya=sin(2*Pi*a/n1); s+=1/sqrt(xa^2+ya^2); for(b=a+1,n-1, xb=cos(2*Pi*b/n1); yb=sin(2*Pi*b/n1); s+=1/sqrt((xa-xb)^2+(ya-yb)^2); )); print(s)
59.575675119700148343736842593912324610 - 11 точек равномерно по окружности, 12-я (которая первая) в центре

Примечательно что для $n<12$ ситуация обратная, выгоднее размещать заряды по окружности. А для $n>11$ выгоднее одну посадить в центр.
Разумеется для больших $n$ выгодной окажется другая конфигурация, не только строго на окружности и в центре.
Для 3D задачи ситуация думаю аналогичная, начиная с некоторого $n$ (понятно что больше $12$) выгоднее оставить заряды в центре/объёме, он(и) будут дальше от соседей чем если бы все были на сфере.

Кроме того, Вы кажется смешиваете две совершенно разные задачи: распределение зарядов в объёме и точно на сфере. Статья лишь про вторую. И заголовок данной темы тоже только про вторую. Вы уж определитесь какую хотите решать, они имеют кардинально разные решения (вероятно для всех n больше нескольких наименьших).

Пару советов с точки зрения программирования.
Для отладки алгоритма полезно ограничиться двухмерной задачей, и считать быстрее, и показать проще, и точных решений известно больше.
Если точки неким образом отсортировать по убыванию расстояния от текущей, то можно обрывать расчёт силы как только накопленная сила стала раз в 10 больше оставшейся (т.е. что учёт всех остальных точек даст точно менее 10% текущей накопленной величины), это легко оценить просто домножив последнюю найденную силу на количество необработанных точек. Да, вектор силы при этом будет не совсем точным (как по величине, так и по направлению), но при достаточно малом шаге вычислений это внесёт лишь малые колебания траектории, не более. Вопрос лишь как отсортировать точки по расстоянию до текущей ... Но вдруг у Вас это ещё где-нибудь понадобится и тогда можно будет воспользоваться бесплатно.
Можно проверять что направление силы/перемещения всех точек не меняло знака с прошлой итерации, т.е. что все заряды перемещаются (примерно) в ту же сторону. Если для какой-то поменяло, то лучше уменьшить шаг итераций. Этим наверное будут гаситься колебания из-за погрешностей вычислений.
Ещё для гашения колебаний можно сначала вычислить все силы - и обнулить например все что меньше медианной (или меньше 20% от максимальной, или ещё как), этим обрубятся мелкие перемещения при наличии больших. Фактически трение, но зависимое от текущих сил, т.е. точность решения не ухудшает, но думаю ускоряет схождение.

[Утундрий]

мат-ламер
Можно сгенерировать заряды в кубе и сразу же спроектировать из центра на сферу. Я бы делал шаг спуска по градиенту в пространстве, после чего тут же сажал бы заряды обратно на сферу. Если изначально не будет слишком слипшихся зарядов и если шаг не слишком большой, должно сойтись. Если не возникнет какого-то дрейфа, не меняющего целевую функцию.

Dmitriy40
Ваш код сломал форматирование страницы.

[Dmitriy40]

Поправил.

[мат-ламер]

Dmitriy40 в сообщении #1584247 писал(а):

Кроме того, Вы кажется смешиваете две совершенно разные задачи: распределение зарядов в объёме и точно на сфере. Статья лишь про вторую. И заголовок данной темы тоже только про вторую. Вы уж определитесь какую хотите решать, они имеют кардинально разные решения (вероятно для всех n больше нескольких наименьших).

Задачу, которую хочу решать - точки на сфере. Я верю физикам, которые считают, что заряды в объёмном проводнике располагаются на его поверхности. А вот что касается конкретного метода решения, то в том методе, который я вчера запрограммировал, начальное расположение точек было в некотором кубе. Вполне возможно, что если рассматривать задачу в шаре, то одна из точек может располагаться в его центре. Но, думаю, что такая конфигурация будет неустойчивой и вероятность, что она может физически осуществиться, равна нулю.

-- Сб мар 04, 2023 17:43:19 --

Dmitriy40 в сообщении #1584247 писал(а):

Для отладки алгоритма полезно ограничиться двухмерной задачей, и считать быстрее, и показать проще, и точных решений известно больше.

Если рассматривать задачу на окружности, то думаю, что её решение тривиально. Заряды должны будут располагаться равномерно на окружности. Хотя для отладки это будет полезным тестом. Если рассматривать задачу на диске, то я пока над этим не думал. Как-нибудь позже к этому вернусь.

-- Сб мар 04, 2023 17:45:44 --

Dmitriy40 в сообщении #1584247 писал(а):

Если точки неким образом отсортировать по убыванию расстояния от текущей, то можно обрывать расчёт силы как только накопленная сила стала раз в 10 больше оставшейся

Когда я перейду к задачам с достаточно большим количеством точек, то естественно, что ближайшие и далёкие точки надо будет как-то рассматривать по разному. Я держу этот ход мысли в уме.

-- Сб мар 04, 2023 17:49:38 --

Утундрий в сообщении #1584249 писал(а):

Можно сгенерировать заряды в кубе и сразу же спроектировать из центра на сферу.

Это можно. Только я решил не сразу проектировать. Они у меня сами проектировались постепенно. Это мне было нужно, чтобы убедиться экспериментально, что заряды должны реально располагаться на сфере. Убедился. Теперь можно и сразу проектировать.

Утундрий в сообщении #1584249 писал(а):

Я бы делал шаг спуска по градиенту в пространстве, после чего тут же сажал бы заряды обратно на сферу. Если изначально не будет слишком слипшихся зарядов и если шаг не слишком большой, должно сойтись.

Я ровно так и поступал. Это называется метод проекции градиента.

мат-ламер в сообщении #1584234 писал(а):

Если на следующей итерации заряд оказывается вышедшим за границы шара, то он возвращается на сферу методом проектирования.

[EUgeneUS]

Для непрерывных распределений заряда нам известно, что
1. Заряды располагаются на поверхности проводящего шара, то есть на сфере.
2. Заряды на сфере располагаются равномерно.
3. Поле внутри равномерно заряженной сферы - ноль.

Именно такая картина должна наблюдаться для достаточно большого $N$.

Пункт 3 выше предполагает, что внутри равномерно заряженной сферы можно расположить один заряд в любой точке, и он будет в положении безразличного равновесия.

А вот два свободных заряда не могут быть в устойчивом положении внутри сферы. Теорема Ирншоу запрещает.

Кроме того, для конечного количества зарядов теорема Ирншоу запрещает также безразличное равновесие одного заряда в центре.

Вывод: в 3D случае рассматривать заряды вне сферы (внутри неё) не имеет смысла.

В 2D случае ситуация другая. Тут мы запрещаем зарядам покидать плоскость и теорема Ирншоу не работает.
ИМХО, при достаточно большом количестве зарядов должно получиться что-то типа равномерного распределения зарядов, например, по узлам гексагональной решетки.
И в непрерывном 2D случае тоже заряды на проводящем диске не скапливаются на его окружности, а как-то распределяются по всей поверхности.

[svv]

https://en.wikipedia.org/wiki/Thomson_problem
https://ru.wikipedia.org/wiki/Проблема_Томсона

[krum]

а сколько различных положений равновесия существует для $n$ зарядов известно?
если считать, что они со сферы сойти не могут

[Dmitriy40]

Не так давно была несколько похожая тема: «Распределение заряда в проводнике».

-- 04.03.2023, 19:28 --

Что-то мне кажется что теорема Гаусса и следствия из неё (типа теоремы Ирншоу) справедливы лишь для внутренности проводника, когда есть море свободных зарядов. А для фиксированного множества зарядов она неприменима (запретит вообще же существование изолированных зарядов!). Потому вопрос об устойчивости распределения зарядов в объёме (в вакууме, не проводнике) не так легко отбросить. Правда тогда непонятно как физически наложить ограничение на границу сферы, но математически в этом проблемы нет. А физически задачу можно переформулировать так: какое распределение точечных зарядов (без наложения) в объёме диэлектрика (т.е. без свободных зарядов) обладает минимальной энергией. Тут никаким зарядам перемещаться не дают и теорема Гаусса в пролёте. Потом дополнительно можно потребовать устойчивости конфигурации зарядов в смысле возврата обратно при малых возмущениях положений зарядов.

[EUgeneUS]

Dmitriy40
Теорема Ирншоу не применима

1) в случае квантовых систем
2) в случае отрицательной поляризуемости вещества: диамагнетики, сверхпроводники. Для электрического поля аналога нет. Левитуриющая лягушка и эффект Мейснера.
3) в случае стабилизации другими силами, не потенциальными. Т.н "левитрон" - левитирующий в магнитном поле волчок, Мендосинский мотор.
4."Динамичекая стабилизация" переменным полем: левитирующие сковородки на токах Фуко и левитирующая индукционная плавка
5. Автоматическое регулирование поля. Всякие "маглевы".

В остальных случаях теорема работает.

[мат-ламер]

Пока для начала сосредоточился на вычислительных процедурах, ибо мне это по духу ближе. Читать по книгам, это одно. А применять прочитанное для конкретных задач, это другое. При этом прочитанное веселее заходит. С точки зрения методов оптимизации задача непростая. Ибо минимизируемая функция невыпуклая и не всюду дифференцируема. Наверное есть седловые точки, которые не являются локальным минимумом. Является ли задача многоэкстремальной, пока не знаю. Пока читаю следующие статьи (вышел через статьи из Википедии про задачу Томсона): статья 1 и статья 2 . Вторая статья вскоре будет доступна и на русском в ЖВМиМФ.
Выражаю всем огромную благодарность за советы. Надеюсь, что их ещё будет много.

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1584301 писал(а):

Наверное есть седловые точки, которые не являются локальным минимумом.

Обязательно есть. Тривиальный пример - равномерное распределение зарядов по большой окружности.

[Утундрий]

Умоляю, ну не швыряйте вы эти километровые простыни! Есть же тег url. Некоторые, знаете ли, с телефона читают.