2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача с параметром
Сообщение25.02.2023, 19:59 


25/02/23
4
При каких $a$ уравнение $\dfrac{1}{(x+a)^2}+\dfrac{1}{(2x+a)^2}=\dfrac{1}{2}$ имеет 4 действительных корня?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром
Сообщение25.02.2023, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
На первый взгляд тут ничего уж такого олимпиадного нет. Параметр симметричен относительно нуля в отношении вопроса. В функции три простенькие веточки. Можно поискать минимум средней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром
Сообщение25.02.2023, 20:54 


25/02/23
4
gris в сообщении #1583266 писал(а):
На первый взгляд тут ничего уж такого олимпиадного нет. Параметр симметричен относительно нуля в отношении вопроса. В функции три простенькие веточки. Можно поискать минимум средней.


Мне тоже так сначала показалось, но на практике вычисления выглядят столь устрашающе, что теплится надежда на более красивую идею какую-то

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром
Сообщение25.02.2023, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Неохота брать бумажку. А чего там? Производная — те же дроби, только кубы. То есть получается в числителe сумма кубов. Ноль у производной один.
То есть равна нулю сумма (с учётом коэффициентов).
$\sqrt [3]4 x+\sqrt [3]4 a +\sqrt [3]2\cdot 2 x+\sqrt [3]2 a=0$ Найдём $x_{min} (a)$ и $y_{min} (a)=1/2$
решением будут два открытых полубесконечных интервала.
Впрочем, действительно, решение неолимпиадно из-за тупых нудных подстановок. Хотя вроде бы уравнений кубических не видно.
Пилить не охота. Поищите изящное решение :wink: .

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром
Сообщение26.02.2023, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
562
so dna
Можно переписать задачу так:

При каких $a$ прямая $y=2x-a$ пересекает кривую $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac12$ в 4-х точках.

Тогда вопрос стоит в нахождении таких $a$, при которых $y=2x-a$ - это касательная к $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac12$ (во 2-й или 4-й четвертях).
Поэтому $y'_0=-\frac{y^3_0}{x^3_0}=2$ и

$\begin{cases}
\frac{1}{x^2_0}+\frac{1}{y^2_0}=\frac12\\
2x^3_0+y^3_0=0\\
a=2x_0-y_0
\end{cases}$

откуда $a_{2,1}=\pm\sqrt{\left(2+\sqrt[3]{2}\right)^3}$

и $a<a_1$ или $a>a_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром
Сообщение26.02.2023, 11:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Красивое!
После утреннего кофе и листочка с ручкой решил-таки довести до конца свой подход.
Приравняв к нулю числитель производной левой части, обозначив $k=\sqrt[3]2$ и выделив из суммы кубов просто сумму получим упоминавшееся уже уравнение $kx+ka+2x+2a=0$. Подставив аргумент локального минимума в функцию, после простеньких преобразований получим уравнение
$\dfrac {k^2+1}{k^2}=\dfrac {a^2}{2(k+2)^2}$
Ловкий восьмиклассник получит отсюда
$a^2=(k+2)^3$
Увы, решение, хотя и тупенько-очевидное, требует строгого обоснования интуитивно понятных вещей.
Радует, что совпадение ответов это ещё один плюсик за непротиворечивость матана :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром
Сообщение02.03.2023, 23:51 


06/01/09
231
К этому сводится одна из задач актуального заочного конкурса учителей
https://mccme.ru/oluch/zaoch_23_usl.pdf задача 4

Я знаю, потому что ее уже написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача с параметром
Сообщение03.03.2023, 23:29 


11/07/16
825
Это механизировано в Мэйпле:
Код:
with(RootFinding[Parametric]):
f := numer(simplify(1/(x+a)^2+1/(2*x+a)^2-1/2));

f := -a^4-6*a^3*x-13*a^2*x^2-12*a*x^3-4*x^4+4*a^2+12*a*x+10*x^2

m := CellDecomposition([f = 0], [x]):
NumberOfSolutions(m);
                [[1, 4], [2, 2], [3, 2], [4, 4]]

Последний результат означает, что множество значений параметра расщепляется на четыре подмножества, для каждого из которых уравнение имеет 4, 2, 2, 4 действительные корни. Опишем четвертое из них:
Код:
 
CellDescription(m, 4);
   
       [[a^6  - 30 a ^4 - 132 a^2  - 1000, 2, a, infinity, 0]]


Решим уравнение
Код:
solve(a^6-30*a^4-132*a^2-1000, a);
-sqrt(10+6*2^(2/3)+12*2^(1/3)), sqrt(10+6*2^(2/3)+12*2^(1/3)), sqrt(10-(3*I)*sqrt(3)*2^(2/3)+(6*I)*sqrt(3)*2^(1/3)-3*2^(2/3)-6*2^(1/3)), -sqrt(10-(3*I)*sqrt(3)*2^(2/3)+(6*I)*sqrt(3)*2^(1/3)-3*2^(2/3)-6*2^(1/3)), sqrt(10+(3*I)*sqrt(3)*2^(2/3)-(6*I)*sqrt(3)*2^(1/3)-3*2^(2/3)-6*2^(1/3)), -sqrt(10+(3*I)*sqrt(3)*2^(2/3)-(6*I)*sqrt(3)*2^(1/3)-3*2^(2/3)-6*2^(1/3))


Описание указывает, что $a>\sqrt {10+6\,{2}^{2/3}+12\,\sqrt [3]{2}}$ . См.справку для дополнительных сведений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group