Найти минимум функционала

[Alm99]

Уважаемые форумчане, добрый день! В общем имеется следующая задача, решение которой скорее всего получено неправильно, однако, хотелось бы получить правильный окончательный ответ. Перейду непосредственно к задаче.

Задача:
Положим, что имеется декартова система координат $(x,y)$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}$. Пусть $dl \overset{\operatorname{def}}{=} \sqrt{{(dx)}^{2} + {(dy)}^{2}}$. Положим, что на $\Omega$ задано множество $C^{(1)}$ гладких кривых $\mathbb{R}^{2}$ с начальными и конечной точкой $O(0;0) \, A(2;4)$ соответственно. Рассмотрим следующий функционал $J: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ такой, что:

$$ J(\varphi) = \int_{\varphi}^{} e^{x} dl, \quad \forall \varphi \in \Omega. $$

Найти нижнюю грань $\underset{\varphi \in \Omega} \inf J(\varphi)$.

Решение:
Перепишем исходный функционал в следующем виде, применяя параметрическую запись движения по кривой $\varphi(t) = (x(t), y(t)), \, t \in [0;1], \, \varphi(0) = O, \varphi(1) = A.$

$$ J(\varphi) &= \int_{\varphi} e^x dl \ = \int_0^1 e^{x(t)} \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt \ = \int_0^1 e^{x(t)} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt. $$

Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа для заданного функционала $J(\varphi) = \int_a^b L(\varphi, \varphi',t) dt = \int_a^b e^{x(t)} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt$

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \varphi'} - \frac{\partial L}{\partial \varphi} &= 0 \Rightarrow \frac{d}{dt} \left( \frac{e^{x(t)} x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \right) - e^{x(t)} \frac{y'(t)^2}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}^3} = 0. $$

Упростив и продифференцировав получаем:

$$ \frac{d}{dt} \left( e^{x(t)} x'(t) \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}^2 \right) &= e^{x(t)} \left( x'(t)^2 + y'(t)^2 \right). $$

Проинтегрируем полученное выражение от $0$ до $1$, используя начальные условия для $ \varphi(0) = 0, \varphi(1) = 1$:

\begin{aligned} \left. e^{x(t)} x'(t) \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}^2 \right|_{0}^1 &= \int_0^1 e^{x(t)} \left( x'(t)^2 + y'(t)^2 \right) dt \Rightarrow \quad \\ e^{1} 2^2 - e^{0} 0^2 & = \int_0^1 e^{x(t)} \left( x'(t)^2 + y'(t)^2 \right) dt \Rightarrow \quad \\ 4e & = \int_0^1 e^{x(t)} \left( x'(t)^2 + y'(t)^2 \right) dt. \end{aligned}

Интеграл в правой части выражения равен константе $4e$. Чтобы отыскать нижнюю грань функционала необходимо найти нижнюю грань интеграла $\int_0^1 e^{x(t)} \left( x'(t)^2 + y'(t)^2 \right) dt$ для всех гладких кривых, идущих из начальной в конечную точку. При этом выражение, стоящее под знаком интеграла $e^{x(t)} \left( x'(t)^2 + y'(t)^2 \right)$ всегда положительно, больше или равно нулю, а поэтому, можно найти нижнюю грань, если $x'(t) = y'(t) = 0$ для всех значений параметра $t$. Т.е.

$$ \inf_{\varphii \in \Omega} J(\varphi) &= \inf_{\varphi \in \Omega} \int_{\varphi} e^x dl \ = \inf_{\varphi\in \Omega} \int_0^1 e^{x(t)} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt = \inf_{\varphi \in \Omega} \int_0^1 e^{x(t)} \cdot 0 dt = 0. $$

Меня очень смущает, что нижняя грань заданного функционала равна нулю.

[krum]

баян https://dxdy.ru/topic152277.html

[mihaild]

Я, возможно, совсем забыл вариационное исчисление, но для меня происходящее выглядит очень странно (на уровне "возникают подозрения что это писало ChatGPT").

Alm99 в сообщении #1583102 писал(а):

Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа для заданного функционала $J(\varphi) = \int_a^b L(\varphi, \varphi',t) dt = \int_a^b e^{x(t)} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} dt$

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \varphi'} - \frac{\partial L}{\partial \varphi} &= 0 \Rightarrow \frac{d}{dt} \left( \frac{e^{x(t)} x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \right) - e^{x(t)} \frac{y'(t)^2}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}^3} = 0. $$

Непонятно, как это получилось. Как минимум для двумерной функции же два уравнения должны быть.

Alm99 в сообщении #1583102 писал(а):

Чтобы отыскать нижнюю грань функционала необходимо найти нижнюю грань интеграла $\int_0^1 e^{x(t)} \left( x'(t)^2 + y'(t)^2 \right) dt$ для всех гладких кривых, идущих из начальной в конечную точку.

Это какое-то странное утверждение. Уравнение Эйлера-Лагранжа дает вам условие на функционал, на котором достигается минимум (кстати не очевидно, что минимум вообще достигается - при достаточно больших значениях $4$ нам должно быть выгодно сходить на минус бесконечность влево, подняться и вернуться).

Alm99 в сообщении #1583102 писал(а):

При этом выражение, стоящее под знаком интеграла $e^{x(t)} \left( x'(t)^2 + y'(t)^2 \right)$ всегда положительно, больше или равно нулю, а поэтому, можно найти нижнюю грань, если $x'(t) = y'(t) = 0$ для всех значений параметра $t$.

Есть же как минимум условия $x(0) = 0$, $x(1) = 2$ - так что $x' = 0$ не получится.

Alm99 в сообщении #1583102 писал(а):

$\varphi(t) = (x(t), y(t)), \, t \in [0;1], \, \varphi(0) = O, \varphi(1) = A.$

Alm99 в сообщении #1583102 писал(а):

$ \varphi(0) = 0, \varphi(1) = 1$:

Как это соотносится?

[Alm99]

krum
mihaild

Да, я прошу прощения, не знал, что данный топик уже рассматривался, тогда буду дальше смотреть, спасибо!

-- 24.02.2023, 16:17 --

mihaild

Цитата:

Это какое-то странное утверждение. Уравнение Эйлера-Лагранжа дает вам условие на функционал, на котором достигается минимум (кстати не очевидно, что минимум вообще достигается - при достаточно больших значениях $4$ нам должно быть выгодно сходить на минус бесконечность влево, подняться и вернуться).

А, ну об этом я вообще не задумался на данный момент.