Задача из кубка Колмогорова

[batts]

Докажите, что уравнение $x^5+y^3+z^2-3xyz=0$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

[gris]

Устно кроме (1,1,1), (1,1,2), (1,2,3) вроде бы и не видно ничего. Ну хотя бы не меньше трёх решений — уже много .
Хотя чисто интуитивно кажется, что для каждого конкретного $x$ существует конечный интервал для $y$ и для каждого $y$ оттуда — конечный интервал для $z$. То есть сузить задачу на одно значение $x$ не получится

[mathematician123]

Можно взять $y = x^2$ и рассмотреть уравнение как квадратное относительно $z$. Тогда всё сведётся к уравнению $a^2 - 5b^2 = 4$, которое имеет бесконечно много решений.