разрешимо ли уравнение 3й степени в радикалах?

[FeelUs]

хочу решить уравнение $x^3-6x-2=0$
по формуле Кардано $x=\sqrt[3]{1+7i}+\sqrt[3]{1-7i}$
хочу представить в виде $x=a+bi$, причем a и b выразить в радикалах рациональных чисел.
для этого надо найти $\cos (1/3 \arctg 7) $, обозначим $1/3 \arctg 7=\varphi$
$\cos 3\varphi = \cos (\arctg 7)=\frac{1}{5\sqrt 2} = 4 \cos^3 \varphi + 3 \cos \varphi$
получаем снова кубическое уравнение $4 y^3-3y-\frac{1}{5\sqrt 2}=0$
по формуле Кардано $y=(\sqrt[3]{1+7i}+\sqrt[3]{1-7i})\frac{1}{8\cdot 5\sqrt 2}$
mathdf.com пишет обтекаемо "три вещественных корня, не всегда могут быть выражены в радикалах"
wolframalpha тоже не показывает решения в радикалах.

Можно ли как-то доказать, что у данного уравнения нельзя корни выразить в радикалах рациональных чисел?

[Null]

Casus irreducibilis, Википедия писал(а):

А именно, если кубический многочлен является неприводимым над рациональными числами и имеет три вещественных корня, то для выражения корней через радикалы нужно вводить комплексно-значные выражения, даже если результирующие значения выражений вещественны. Это было доказано Пьером Ванцелем в 1843.

[Sonic86]

См. также Постников Теория Галуа, издание 2003 года (в старом издании этого нет). Глава 10, п.3 Casus irreducibilis

Постников писал(а):

Теорема 1. Если все корни многочлена $f(X)$ степени $n$ вещественны, а порядок его группы Галуа над полем $k$ не является степенью двойки, то корни этого многочлена нельзя выразить через вещественные радикалы.

[ewert]

Это фактически задача о трисекции угла. И да, известно, что она неразрешима.

[Null]

ewert в сообщении #1582959 писал(а):

Это фактически задача о трисекции угла.

Нет, в задаче о трисекции угла нельзя извлекать корень кубический из действительного числа, а тут можно.

[ewert]

Да нельзя; корень-то приходится извлекать из числа комплексного. А это ровно трисекция.

[mihaild]

ewert в сообщении #1582972 писал(а):

А это ровно трисекция

Трисекция требует выражения через квадратные корни из действительных чисел. А тут нам разрешены кубические корни из действительных чисел. Которые циркулем и линейкой не построишь.