Топологическое пространство гомеоморфное интервалу

[Junger]

Друг предложил задачу. Пусть $X$ -- линейно упорядоченное множество. Топология на нём порождается этим отношением. Кроме того, $X$ сепарабельно и связно. Надо доказать, что $X$ с точностью до гомеоморфизма единичный интервал. Предполагается, что в $X$ не менее двух элементов, естественно.

Могу показать, что эта штучка метризуема, но дальше что делать? В таких (топологических), задачах не искушён от слова, никак. Но хотелось бы понять.

[mihaild]

(не продумывал до конца, так что что-то может быть не так, но вроде бы должно доводиться)
Для простоты скажем, что минимального и максимального элементов нет. Возьмем счетное всюду плотное множество. Построим биекцию между ним и двоично-рациональными числами из $(0, 1)$: отобразим первый элемент в $1/2$, элемент с наименьшим номером, меньший первого - в $1 / 4$, с наименьшим номером, большим первого - в $3/4$, и т.д., каждый раз отображая элемент с наименьшим номером из очередного интервала из $X$ в центр соответствующего интервала в $(0, 1)$.
Эта биекция сохраняет порядок, и непрерывна в обе стороны (тут понадобится связность). Продолжим её по непрерывности на всё $X$. Получили требуемый гомеоморфизм.

[Padawan]

В Хаусдорф Теория множеств это вроде бы есть. Там доказано, что порядковый тип счётного плотного линейного порядка (плотного - значит между двумя любыми элементами есть элемент) есть порядковый тип $\mathbb Q$, а порядковый тип линейного упорядоченного множества, в котором есть плотное счётное подмножество и нет "щелей" (Дедекиндовых сечений без минимального и максимального элемента в обоих классах) есть порядковый тип $\mathbb R$.

[Junger]

Спасибо за ответы! Я сейчас подумаю, надо время. Последнее время, торможу.

PS
Задача предполагалась для студентов в рамках курса общей топологии.