Закон Ома для полной цепи: обоснование

[Ascold]

В книгах, где рассуждается об этом, пишут так: работа сторонних + электростатических сил по переносу заряда по замкнутой цепи равна

$$\xi It+0=I^2Rt+I^2rt,$$

ну и делим на It. Что напрягает - вид слагаемого для внутреннего участка цепи, такой же, как для внешнего участка, почему так? То, что на резисторе выполняется з. Ома для участка цепи, выводится из электронной теории, ну и закон Джоуля-Ленца возникает незамедлительно, а вот слагаемое $I^2rt$ как работа по переносу заряда по внутренней части цепи вызывает вопросы.
Пусть для определённости у нас цинковая пластина и кусок угля вставлены в стакан с соляной кислотой и сверху замкнуты резистором. Основные процессы тогда такие. Цинк: подплыли хлорид-анионы, "оттянули" и вырвали катионы цинка, платина зарядилась отрицательно. Не будь резистора, "лишние электроны" дождались бы протонов и присоединились бы к ним, в итоге была бы стандартная реакция

$$Zn+2HCl=ZnCl_2+H_2.$$

Но у нас есть резистор, так что электроны проводимости покидают пластину по нему, перебираясь на инертный по отношению к кислоте уголь, и уже там их настигают протоны, восстанавливаясь до водорода в виде пузырьков, покрывающих потихоньку поверхность углерода.
Т.е. по внутренней цепи заряд переносится не в смысле сопротивления электролита протекающему по нему току, а в смысле изъятия катионов с поверхности цинка и электронов - с поверхности угля и видны три явления, приводящие к понижению напряжения между электродами при замыкании их внешней нагрузкой.
1. Внешняя цепь, унося электроны с цинка, понижает его заряд, так что чем меньше R, тем менее заряженным в равновесном состоянии получается цинк, тем слабее он "толкает" электроны с себя.
2. Покрывающийся водородом уголь усложняет дальнейшее поглощение электронов протонами(в хорошей батарейке это явление подавляется химически).
3. Отрицательный заряд цинка мешает хлорид-анионам переводить новые катионы цинка в раствор. Впрочем, часть катионов цинка, не уплывают далеко и как-то экранируют пластину.
Я по образованию не химик, так что в рассуждениях выше могут быть ошибки. Но в целом получается такая картина, что работа такого источника питания заключается в отрыве катионов цинка и нейтрализации электронов на угле, сами же протоны и хлориды перемещаются к электродам за счёт диффузии и чуть-чуть дрейфа, так что внутреннее сопротивление r - характеристика обобщённо-феноменологическая.

Собственно, мой вопрос такой - как правильнее объяснять уменьшение напряжения с уменьшением R - тем, что цинковая пластина получается недостаточно заряженной из-за быстрого утекания электронов с неё или тем, что хлорид-анионы на пути к цинку и протоны - к углю "трутся" об окружение и друг друга так, что не успевают быстро "доходить до места"? Или комбинация факторов? Почему получающаяся энергетическая потеря квадратична по току, т.е. почему внутреннее сопротивление батареи - практически постоянная величина?

[Amw]

Ascold в сообщении #1582523 писал(а):

...внутреннее сопротивление r - характеристика обобщённо-феноменологическая

Для закона Ома - так и есть. Нам неважен механизм поглощения энергии на нем и откуда берется ЭДС источника. Зная ЭДС и внутреннее сопротивление источника мы можем рассчитать напряжение на нагрузке по закону Ома для полной цепи.

[Ascold]

мой вопрос скорее про то, почему, потери энергии внутри источника питания пропорциональны квадрату тока, как и джоулево тепло на резисторе.
Ну, т.е. почему исходно надо считать, что отношение энергии, теряющейся внутри батарейки к джоулеву теплу во внешней цепи равно именно $r/R,$ а не, скажем, $e^{r/R}$ ?

[Amw]

Ascold в сообщении #1582526 писал(а):

...равно именно $r/R,$

Потому, что источник ЭДС с внутренним сопротивлением $r$ можно представить как идеальный с нулевым внутренним, плюс последовательно с ним сопротивление $r$. Но энергия, пропорциональная квадрату тока, через него хоть и "уходит" из цепи, но не обязательно превращается в тепло.

[wrest]

Ascold в сообщении #1582526 писал(а):

мой вопрос скорее про то, почему, потери энергии внутри источника питания пропорциональны квадрату тока, как и джоулево тепло на резисторе.

Ну потери энергии внутри не меньше чем приобретения резистром снаружи, а снаружи они по току квадратичны по закону Джоуля-Ленца. Значит внутренние потери как минимум квадратичны. А так-то, мало ли что там внутри...

-- 20.02.2023, 23:34 --

Ascold в сообщении #1582523 писал(а):

Собственно, мой вопрос такой - как правильнее объяснять уменьшение напряжения с уменьшением R

Вас именно химические источники интересуют? Так-то можно сделать источник с любым поведением... Например с околонулевым видимым наружу эквивалентным внутренним сопротивлением.
Вот есть такие штуки типа вейпов, которые работают от батареек и греют спираль нихромовую или близкую к нихрому. Они могут давать в спираль (резистор пассивный) как хочешь: постоянное напряжение, постоянный ток или постоянную мощность. Или даже более хитро: греть так, чтобы температура спирали была постоянная. При том, спираль там греется, и при нагреве меняет сопротивление...

[Amw]

Ascold в сообщении #1582523 писал(а):

как правильнее объяснять уменьшение напряжения с уменьшением R

Тем и объяснить, что внутри есть сопротивление. Если б не было, то и напряжение бы не уменьшалось. Ток-то одинаковый, вот на него и надо разделить уменьшение напряжения при подключении нагрузки... так и получится внутреннее сопротивление.

[Geen]

Ascold в сообщении #1582526 писал(а):

отношение энергии, теряющейся внутри батарейки к джоулеву теплу во внешней цепи равно именно $r/R,$ а не, скажем, $e^{r/R}$ ?

потому что "батарейка" "второго типа" никому не нужна...

[EUgeneUS]

Ascold
1. Всегда удивляло - зачем вводить "Закон Ома для полной цепи" при наличии второго правила Кирхгофа. Ну да, ладно.
2. Согласно теореме об эквивалентном генераторе любой двуполюсник (в том числе реальный источник) может быть представлен в виде идеального источника напряжения и последовательного ему сопротивления.
3. Если мы остаёмся в рамках линейных схем, то параметры элементов не зависят от протекающего через них тока и-или от падения напряжения на них.
4. Реальный источник не может отдать бесконечную мощность, а значит его внутреннее сопротивление не может быть нулем.
И никакого другого варианта, кроме написанного в первом посте не остаётся.

Вся электротехника - это приближение уравнений Максвелла, которая хорошо описывает реальный мир, но только при некоторых условиях.
Поэтому возникает вопрос: а насколько хорошо описывает такая модель реальные источники?
Насколько знаю, описывает довольно хорошо химические элементы и трансформаторные источники.
Электронные, включая импульсные, описывает плохо. Там возникает нелинейность на нагрузочной характеристике.

Отдельный вопрос - можно ли считать, что на внутреннем сопротивлении источника выделяется джоулево тепло $P=I^2 r$. Недавно была тут дискуссия на эту тему.
На мой взгляд, такая оценка выдялющегося тепла вполне релевантна для химических источников. Для трансформаторов есть дополнительные потери (у них потери на холостом ходе не ноль, например). А для электронных БП нужно анализировать схему.

[zykov]

EUgeneUS в сообщении #1582557 писал(а):

Отдельный вопрос - можно ли считать, что на внутреннем сопротивлении источника выделяется джоулево тепло $P=I^2 r$.

Просто закон сохранения энергии $\Delta E = U \cdot \Delta Q$.
Может конечно не всё идёт в тепло. Что-то ещё куда-то уходит. Но это не так важно.

[EUgeneUS]

Реальная (1) и линеаризиованная (2) ВАХ (нагрузочная характеристика) стартерной автомобильной батареи

-- 21.02.2023, 08:08 --

zykov в сообщении #1582560 писал(а):

Просто закон сохранения энергии $\Delta E = U \cdot \Delta Q$.

Формула-то верна в любом случае.
Вот только откуда Вы возьмёте $U$, если оно от нагрузки зависит?

[Amw]

EUgeneUS в сообщении #1582557 писал(а):

Отдельный вопрос - можно ли считать, что на внутреннем сопротивлении источника выделяется джоулево тепло $P=I^2 r$. Недавно была тут дискуссия на эту тему.

Исключительно если "действуем" в рамках модели идеального источника плюс резистор. Т.е. если считаем, что при изменении внешней нагрузки, ЭДС источника и внутреннее сопротивление его не меняются.

[Alex-Yu]

Ascold в сообщении #1582526 писал(а):

почему, потери энергии внутри источника питания пропорциональны квадрату тока, как и джоулево тепло на резисторе.

А не почему. Просто экспериментальный факт, приближенный притом. Кстати, закон Ома тоже приближенный. На том уровне, что здесь обсуждается, это вообще никак, кроме как экспериментом, обосновать невозможно. Теоретически это можно было бы, в принципе, обосновать в рамках какой-нибудь микроскопической модели конкретного источника. Но никак не из рассуждений на основе теории электрических цепей.

[wrest]

zykov в сообщении #1582560 писал(а):

Может конечно не всё идёт в тепло. Что-то ещё куда-то уходит.

Может даже ничего не идёт в тепло, а то и охлаждается если химия эндотермическая. Или если там в источнике пружинка и динамо-машина, пружинка распрямляется и не нагревается при этом. Может там энергия во вращении маховика запасена... Да мало ли что. Внутренняя энергия источника ЭДС, очевидно, уменьшается (если это коробочка изолированная от розетки), но снаружи мы не можем узнать какие гномики там качают электроны между контактами.

[Amw]

zykov в сообщении #1582560 писал(а):

Может конечно не всё идёт в тепло. Что-то ещё куда-то уходит. Но это не так важно.

Alex-Yu в сообщении #1582574 писал(а):

Но никак не из рассуждений на основе теории электрических цепей.

Можно нарисовать такой источник ("на основе теории электрических цепей"), у которого напряжение уменьшается с уменьшением сопротивления нагрузки, а "внутри" никуда энергия не уходит.

[GraNiNi]

Ascold в сообщении #1582526 писал(а):

мой вопрос скорее про то, почему, потери энергии внутри источника питания пропорциональны квадрату тока, как и джоулево тепло на резисторе.

Потому, что любой химический источник электрического тока (батарейка, аккумулятор) конструктивно содержат в себе такие же резисторы, в качестве которых выступают как сами электроды (металлы, графит, оксиды и пр.) так и электролит - раствор кислот, солей, щелочей и пр. разделяющий эти электроды.