Кое-что о неявных функциях и диф. уравнениях

[krum]

Не буду стремиться навести математическую строгость, расскажу сам принцип. Технические детали любой хороший третекурсник может додумать сам.

Схема I

Пусть $D\subset\mathbb{R}^m$ -- область, $U$ -- топологическое пространство. (Вместо $\mathbb{R}^m$ можно взять банахово пространство, но не будем заморачиваться второстепенным.)
Отображение $f=f(u,x):U\times D\to \mathbb{R}^n,\quad n\le m$ будем считать непрерывным и класса $C^2$ по второму аргументу.
Через $Y$ обозначим банахово пространство непрерывных отображений $y:U\to \mathbb{R}^m$ для которых $\|y\|_Y=\sup_{u\in U}|y(u)|<\infty.$
Кроме того будем считать, что $f(\hat u,\hat x)=0$. Теперь я хочу решить уравнение

$$f(u,x)=0\Longrightarrow x=x(u)\in Y,\quad x(\hat u)=\hat x.\qquad(0)$$

Для этого будем считать, что $\mathrm{rang}\, f_x=n$ всюду.
Рассмотрим задачу Коши

$$ x_t=-F(u,x)\tilde f,\quad \tilde f=f(u,\hat x),\quad x\mid_{t=0}=\hat x,\quad F=f_x^T(f_xf_x^T)^{-1}.\qquad(1)$$

Это задача Коши на функцию $x\in C^1([0,1],Y)$ т.е. тут надо понимвать, что $x=x(t,u)$
(1) -- это обыкновенное диф. уравнение, и хотя оно и на банаховом пространстве, для него справедлива обычная теорема Коши, и при известных предположениях на правую часть, решение данной задачи Коши продолжается на отрезок $[0,1]$.

Решением уравнения (0) является функция $x(u)=z(1,u),$ где $z(t,u)$ -- решение задачи (1).
Действительно, проинтегрируем равенство

$$f_x(u,z(t,u))z_t=-\tilde f$$

по по отрезку $t\in [0,1]$, получим: $f(u,z(1,u))-f(u,z(0,u))=-\tilde f.$

Схема II (так можно ткеорему о монодромии получить)

Пусть $U\subset \mathbb{R}^k$ -- область и $f\in C^2(U\times D,\mathbb{R}^n).$
Будем считать, что задана функция $w=w(t,u)\in C^1([0,1]\times U,\mathbb{R}^k)$ такая, что

$$w(1,u)= u,\quad w(0, u)=\hat u.$$

Опять решаем уравнение (0), но теперь с помощью совсем обыкновенной конечномерной (хотя и с параметром $u$) задачи Коши

$$x_t=-G(w(t,u),x)w_t,\quad x\mid_{t=0}=\hat x,\quad G=f_x^T(f_xf_x^T)^{-1}f_u.\qquad(2)$$

Решением ур. (0) является функция $x(u)=y(1,u)$, где $y(t,u)$ -- решение задачи (2)
Действительно, проинтегрируем равенство

$$f_u(w(t,u),y(t,u))w_t+f_xy_t=0$$

по отрезку $t\in[0,1]$..................