Диофантово уравнение 2-го порядка. Дилетантский вопрос

[SpBerkut]

Добрый день.

В процессе попытки улучшить решение одной олимпиадной задачи по программированию родилось у меня такое вот уравнение: $x^2 + 21 \cdot x$ + 2 = y^2 + 5 \cdot y. Требуется найти натуральные решения, причём $x$ должен быть минимальным. Я решаю перебором, но при больших значениях коэффициентов вываливаюсь за отведённое время. Почитал, стыдно сказать, Википедию, где было написано:

Цитата:

Проблема решения уравнений в целых числах рассмотрена до конца ... для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.

Если я ничего не путаю, то моё уравнение точно попадает под этот критерий.

Правильно ли я понимаю, что есть некий метод решения, или под проблемой, рассмотренной до конца, понимается только возможность определить имеет ли уравнение решение или нет?
Я лелею надежду, что некий алгоритм всё же есть, т.к. при попытке скормить уравнение с большими коэффициентами WolframAlpha, последний выдаёт десятки 20-значных решений за секунды. Вряд ли там перебор.

[EUgeneUS]

Путем замены переменных сведите уравнение к виду:
$\tilde{x}^2 - \tilde{y}^2 = d$

После этого нужно записать разницу квадратов как произведение и перебрать все варианты множителей $d$.

[Andrey A]

SpBerkut в сообщении #1581871 писал(а):

... натуральные решения, причём $x$ должен быть минимальным. Я решаю перебором, но при больших значениях коэффициентов...

Чтобы найти минимальное натуральное $x$, не нужно перебирать большие коэффициенты.
Хорошее решение Вам уже подсказали. Если непонятно, домножьте почленно всё на $4$ и воспользуйтесь тождеством $4ab=(a+b)^2-(a-b)^2.$