Парадокс Бертрана и родственный ему парадокс

[mihaild]

Doctor Boom в сообщении #1581650 писал(а):

Да он вроде и до него не представлял (или до таких очевидных вещей как непрерывное вероятностное распределение додумались сильно позже?)

Понятия распределения (как меры на области значений) в явном виде не было. Говорили о случайных величинах, и о вероятностях того, что они попадают в некоторый интервал, при этом не указывая, что собственно такое случайные величины. Соответственно как в эту парадигму уложить то, что сейчас называется "распределением на хордах" - не очень понятно.

[F111mon]

Стандартная договоренность: попадание точки в любые квадраты равного размера равновероятно.
Если хочется определять вероятность по-другому, надо это оговаривать в условии.

[mihaild]

F111mon в сообщении #1581679 писал(а):

Стандартная договоренность: попадание точки в любые квадраты равного размера равновероятно.

А где в исходной задаче точки? Там хорды. И Ваша параметризация хорд парами точек - произвол.

[Евгений Машеров]

need_to_learn в сообщении #1581573 писал(а):

Недавно узнал о парадоксе Бертрана
и возникли некоторые вопросы.

Напомню, что парадокс Бертрана заключается в следующем. Имеется равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Случайным образом выбирается хорда окружности. Какова вероятность, что выбранная хорда окажется длиннее стороны треугольника? Жозеф Бертран предложил три разных способа решения этой задачи, каждый из которых выглядит очевидно верным, но при этом получаются очень разные результаты. В этом и состоит парадокс.

Возможно, я чего-то не понимаю, но как по мне, объясняется этот парадокс элементарно:
1. Окружность содержит бесконечное количество точек. Поэтому из любой точки окружности можно провести бесконечное количество хорд к остальным точкам.
2. Дуга окружности размером в треть этой окружности также содержит бесконечное количество точек. Поэтому из вершины равностороннего треугольника можно провести бесконечное количество хорд, имеющих общую точку с данной дугой, и при этом отвечающих требованию быть длиннее стороны вписанного равностороннего треугольника.
3. Как итог, получаем отношение $\dfrac{\infty}{\infty}$, т.е. неопределённость. (Насколько мне известно, в математике результат деления бесконечности на бесконечность не определён.)
Вот и весь внутренний механизм парадокса. Мы получаем противоречивые ответы, зависящие от способа решения, просто потому, что результат на самом деле не определён.

Недостаток Вашего решения в том, что это не решение, а отказ от решения. Прикладную задачу, в которой надо решить именно "задачу Бертрана", я с ходу назвать затрудняюсь, но существует множество прикладных задач, в которых тоже "бесконечное число успехов" делится на "бесконечное число испытаний". Артиллерист стреляет по ДОТу Нет, лучше врач-радиохирург облучает опухоль мозга, причём координаты опухоли определены с некоторой погрешностью, а частицы из изотопного источника вылетают со случайным отклонением. Будем гордо заявлять, что "в математике бесконечность на бесконечность не делят!" или попробуем ответить доктору, какова вероятность, что он облучит именно опухоль?
Смысл парадокса Бертрана не в том, что "не решается!", а в том, что в ходе решения мы заявляли "очевидно", но эта "очевидность" была плодом нашего субъективного выбора. И оказывается, что для однозначного ответа надо сперва точно определить термины и понятия, а не полагаться, что "всё всем и так ясно". Особенно явно это проявилось в теории вероятностей, где на раннем этапе слишком полагались на "поскольку исходы равновероятны". Но такая проблема возникала и в иных отраслях математики, вынуждая заменять "интуитивно очевидное" сложными формальными конструкциями, исключающими неоднозначность.

[Лукомор]

Евгений Машеров в сообщении #1581829 писал(а):

Смысл парадокса Бертрана не в том, что "не решается!", а в том, что в ходе решения мы заявляли "очевидно", но эта "очевидность" была плодом нашего субъективного выбора.

Субъективность выбора у самого Бертрана начинается уже с самого начала.
Процедура построения случайной хорды, по аналогии с построением случайного отрезка в задаче Бюффона об игле, разбивается на два этапа:
на плоскость случайным образом бросается точка, а затем через зту точку в случайном направлении проводится прямая.
И уже первый этап вызывает недоумение.
В первом варианте решения (где $p=1/3$) случайная точка всегда падает строго на окружность, во втором и в третьем варианте , случайная точка падает внутрь окружности, и ни в одном из вариантов не выбирается случайная точка вне окружности, хотя вероятность попадания случайной точки брошенной на бесконечную плоскость внутрь окружности равна нулю, а вовне окружности - единице.
Но и это еще не все.
Только в первом варианте случайное направление прямой через данную точку распределено равномерно. Во втором варианте (где $p=1/2$) все прямые,
проведенные случайным образом через любую случайную точку внутри круга, случайно оказываются параллельными друг к другу.
В третьем варианте (где $p=1/4$) , каждая прямая случайным образом оказывается строго перпендикулярной отрезку, соединяющему центр окружности с данной точкой.
Поэтому ни одно из решений Бертрана не проходит по критерию случайности.

А ведь описанный способ получения случайной хорды - не единственный.

Анри Пуанкарэ, где то в сети я находил раньше этот фрагмент из его лекций,
вместо того, чтобы проводить случайную прямую, пересекающую фиксированную на плоскости окружность, предложил провести на плоскости прямую и кидать на нее случайным образом окружность, например , монету.
Часть прямой, покрытая монетой, и даст случайную хорду,а вероятность в этом случае определяется однозначно, и равна $p=1/2$

Эдвин Джейнс в статье E.T.Jaynes "Well-Posed Problem" описывает реально проведенный физический эксперимент где "прутики от веника" бросались с некоторого расстояния на начерченную на земле окружность.
Полученная в результате вероятность снова была близка к "p=1/2",
что как бэ намекает на правильный ответ, но это отнюдь не означает, что один из вариантов решения Бертрана правильный.