Дифференциал векторной функции

[mehanat]

Добрый день, сейчас постигаю азы векторного дифференциирования и столкнулся со следующим вопросом

$ d(x^Tx ) = 2x^Tdx $ - эта формула понятна и ее нетрудно проверить самостоятельно.
$ d(\left\lVert xx^T\right\rVert^2 ) = ? $ - вот это уже вызывает сложность.
Я пробовал расписать последнее покомпонентно для вектора размерности $3$, но не могу понять как представить этот дифференциал в векторном виде

[vpb]

mehanat в сообщении #1581683 писал(а):

эта формула понятна и ее нетрудно проверить самостоятельно.

Она малость неверна, вообще-то.

[mehanat]

vpb в сообщении #1581685 писал(а):

mehanat в сообщении #1581683 писал(а):

эта формула понятна и ее нетрудно проверить самостоятельно.

Она малость неверна, вообще-то.

извиняюсь, забыл домножить на 2, поправил

[Doctor Boom]

mehanat
Дифференциал от квадрата нормы матрицы?

[mehanat]

Doctor Boom в сообщении #1581687 писал(а):

mehanat
Дифференциал от квадрата нормы матрицы?

да, верно

[мат-ламер]

Спектр матрицы $xx^T$ практически совпадает с спектром матрицы $x^Tx$ . Добавляются лишь нулевые собственные значения.

-- Ср фев 15, 2023 16:25:11 --

мат-ламер в сообщении #1581709 писал(а):

практически совпадает с спектром матрицы $x^Tx$

А если $x$ - вектор-строка, то это просто некоторое число - квадрат нормы вектора.

[Doctor Boom]

mehanat в сообщении #1581689 писал(а):

да, верно

Так определитель $xx^T$ равен нулю

[мат-ламер]

Doctor Boom в сообщении #1581738 писал(а):

Так определитель $xx^T$ равен нулю

И что? Топик-стартер, правда, не указал, про какую норму матрицы идёт речь. Будем считать, что про спектральную.

[krum]

По-моему, сама постановка вопроса странноватая. Интересно просто , а в каком учебнике так упражняются?
А что бы писать такие формулки достаточно помнить, что

$$df(x)=\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}f(x+sdx),$$

где $s$ это уже скалярный параметр

-- 16.02.2023, 09:06 --

полагаю, речь идет о такой норме матрицы $\|A\|^2=\mathrm{tr}\,A^TA$

[vpb]

mehanat в сообщении #1581686 писал(а):

извиняюсь, забыл домножить на 2, поправил

Ну вот, другое дело.

krum в сообщении #1581809 писал(а):

полагаю, речь идет о такой норме матрицы $\|A\|^2=\operatorname{tr}\,A^TA$

Поддерживаю. Впрочем, для матриц вида $xx^T$, где $x$ --- столбец, спектральная и фробениусова совпадают, с точностью до множителя (рекомендуется доказать).

Также ТСу рекомендую доказать, для начала, что если $x$, $y$ --- два столбца (возможно даже разных размеров), то $\| xy^T\|=\|x\|\cdot\|y\|$. Опосля заметить, что $\|x\|^2=x^Tx$.