НОК в целостном кольце

[areak]

Здравствуйте! Читаю первый том Кострикина и не могу доказать следующее утверждение:
Пусть для элементов $a,b$ целостного кольца $K$ существуют НОД(a,b) и НОК(a,b). Тогда:
а) $НОК(a,b) = 0 \Leftrightarrow a = 0$ или $b = 0$

В доказательстве буквально говорится, что а) вытекает непосредственно из определения НОК(a,b).

Докажем сначала в одну сторону $\Leftarrow$:
Если $a = 0$ или $b = 0$, тогда по определению НОК(a,b) (обозначим его далее через $m$) выходит, что $m = aa', m = bb'$, где $a',b' \in K$. Очевидно, что в данном случае $m = 0$.

Но в обратную сторону данное утверждение уже не получается доказать $\Rightarrow$:
Пусть $m = 0 \Rightarrow m = aa', m = bb'$, где $a',b' \in K$. Но ведь в этом случае $a$ или $b$ не обязаны быть равными нулю, ибо мы можем положить $a' = b' = 0$ и при этом мы будем иметь $m =$ НОК(a,b) $= 0$, где $a,b \ne 0$

[vpb]

Ну да,бывает, запутались с тривиальными вещами.

Пусть $a,b\ne0$, и $m$ --- их НОК. Допустим, $m=0$. Любой элемент, который делится на оба $a$ и $b$, должен делиться и на $m$. В частности, $ab$ делится на $m$. Но $ab\ne0$, поскольку кольцо целостное. А на нуль ничто, кроме нуля, не делится --- противоречие.

[areak]

Понял. Большое Вам спасибо за ответ и уделённое время!

[vpb]

Пожалуйста. .