Задача Дирихле для уравнение Пуассона

[TRK11]

Есть уравнение
$N\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+2S\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}+F\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=Q$
$N, S, F, Q$ - некоторые константы, $N, S, F > 0$ и $N\cdot F>S^2$
Граничные условия:
$f=0$ на границах прямоугольника $x=0,x=a,y=0,y=b$

Я делаю замену переменных, чтобы привести уравнение к классическому виду:
$\eta=\frac{\sqrt{N\cdot F-S^2}}{N}x$
$\zeta=y-\frac{S}{N}\cdot x$

Получаю уравнение
$\frac{\partial^2f}{\partial\eta^2}+\frac{\partial^2f}{\partial\zeta^2}=\frac{N}{N\cdot F-S^2}Q$

Но если я правильно понимаю, при замене переменных изменится и область, в которой ищем решение.
Теперь это будет параллелограмм
$\eta=0$,
$\eta=\frac{\sqrt{N\cdot F-S^2}}{N}\cdot a$,
$\zeta=-\frac{S}{\sqrt{N\cdot F-S^2}}\cdot\eta$,
$\zeta=b-\frac{S}{\sqrt{N\cdot F-S^2}}\cdot \eta$

Существует ли аналитическое решение для такого случая (когда рассматриваемая область - параллелограмм)?
Если да, то где можно посмотреть примеры решения?
Все найденные мной примеры решения уравнения Пуассона - для прямоугольной области.

[Red_Herring]

Если говорить о методе разделения переменных, то помимо прямоугольников соответствующие координаты делятся, например, в диске, эллипсе и т.д.

Известно, как конформно отобразить многоугольник на диск и тогда получается аналитическое решение задачи в многоугольнике.

[krum]

в исходном уравнении сделайте замену

$$f=\frac{Qxy}{2S}+u$$

получите стандартное уравнение Лапласа в прямоугольнике, которое стандартно решается

[krum]

Вот это я глупость сморозил

[krum]

в общем интеграл Кристоффеля Вам в помощь

[Утундрий]

И не просто Кристоффеля, а Шварца — Кристоффеля.

[TRK11]

Т.е., если я правильно понимаю, для моего случая существует замена переменных, такая что область, в которой ищем решение, останется прямоугольником (как в исходной задаче)?

Можно где-нибудь посмотреть примеры решения таких задач?

[krum]

Неправильно понимаете. Вы правильно начали, приведя уравнение к каноническому виду и получив задачу в параллелограмме. Теперь избавьтесь от правой части простой заменой и получите задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Эту задачу решайте методом конформных отображений. Отображажайте параллелограмм на верхнюю полуплоскость с помощью интеграла Кристоффеля. Подозреваю, что интеграл окажется эллиптическим и браться не будет.