Полнота правого сопряженного функтора

[EminentVictorians]

У Маклейна на стр. 108 есть следующая теорема:

Теорема 1. Пусть $(F, G, \eta, \varepsilon): X \to A$ - некоторое сопряжение. Тогда: 1) функтор $G$ унивалентен, если и только если каждая компонента $\varepsilon_a$ коединицы $\varepsilon$ является эпиморфизмом; 2) функтор $G$ полон, если и только если каждая компонента $\varepsilon_a$ является мономорфизмом и расщепляется. Как следствие, $G$ полон и унивалентен, если и только если каждая компонента $\varepsilon_a$ является изоморфизмом $FGa \widetilde{=} a$.

У меня легко получилось доказать пункт 1.

На всякий случай напишу прозрачно: есть 2 функтора $F:X \to A, G:A \to X$, $F$ - левый сопряженный к $G$, $G$ в свою очередь - правый сопряженный к $F$. Биекцию сопряжения обозначим буквой $\varphi$.

Берем произвольный элемент $a' \in A$ (я сразу же рисую симметричный ему элемент $Ga' \in X$). Берем 2 произвольные различные стрелки $\delta, \gamma: a \to a'$ в категории $A$. Т.к. $G$ унивалентен, значит $G \delta \ne G \gamma$. Далее подключаем биекцию сопряжения:

$$\varphi (\delta \circ \varepsilon_a) = G \delta \circ 1_{G_a} = G \delta$$

$$\varphi (\gamma \circ \varepsilon_a) = G \gamma \circ 1_{G_a} = G \gamma$$

Т.к. правые части разные ($G$ ведь унивалентный), значит и $\delta \circ \varepsilon_a \ne \gamma \circ \varepsilon_a$, что и доказывает эпиморфность $\varepsilon_a$.

Примерно так же легко доказывается обратный факт, что из эпиморфности каждой компоненты коединицы следует унивалентность функтора $G$.

Далее я решил доказать пункт 2. Я был уверен, что все получится так же легко (т.к. доказывается если не двойственное, то по крайней мере на первый взгляд крайне подобное утверждение). Но не получается.

Как обычно, рисую 2 категории и сопряжение между ними. В категории $A$ нарисована произвольная коединица $\varepsilon_a: FGa \to a$. Раз речь идет о мономорфности $\varepsilon_a$, значит надо выбрать произвольную пару различный стрелок $\delta, \gamma: a' \to FGa$. На этом моменте возникает первая проблема: а вдруг образ функтора $F$ не совпадает с категорией $A$. Это значит, что эти 2 стрелки теоретически могут вообще не участвовать в сопряжении и я не представляю, как вообще можно тогда доказать что-либо с их участием. Ну ладно, пусть даже мы возьмем не какой-то $a' \in A$, а прямо элемент $Fx \in A$, являющийся образом некоторого элемента $x \in X$ (и тогда стрелки примут вид $\delta, \gamma: Fx \to FGa$). Далее я на автомате подумал, что раз функтор $F$ полон, значит стрелки $\delta$ и $\gamma$ являются образами некоторых стрелок из категории $X$. Я сразу переименовал $\delta$ и $\gamma$ на $F \delta$ и $F \gamma$ (а $\delta$ и $\gamma$ тогда - это теперь стрелки $\delta, \gamma: x \to Ga$ из $X$. Разумеется, $\delta \ne \gamma$. И теперь опять подключаем биекцию сопряжения:

$$\varphi (\varepsilon_a \circ F \delta) = 1_{G_a} \circ \delta = \delta$$

$$\varphi (\varepsilon_a \circ F \gamma) = 1_{G_a} \circ \gamma = \gamma$$

Опять правые части различны, следовательно $\varepsilon_a \circ F \delta \ne \varepsilon_a \circ F \gamma$ что и доказывает теперь уже мономорфность $\varepsilon_a$.

Но есть один нюанс. Я на автомате использовал полноту функтора $F$, а дана полнота функтора $G$! Про $F$ вообще ничего не сказано, а значит это легкое и самое главное подобное первому пункту доказательство идет коту под хвост.

Таким образом, ситуация крайне странная. Сначала я подумал, что может быть есть опечатка и перепутаны либо единица с коединицей, либо функтор $G$ с функтором $F$ или что-то в таком роде. Но там дальше Маклейн уверенно использует эту формулировку, да и последнее предложение в самом фрагменте показывает, что опечатки нету.

Подскажите, где косяк. Точно ли формулировка корректная? И если корректная, как подступиться к доказательству (пока хочу доказать вслепую; в учебник смотрел, но там фигня какая-то непонятная, а я хочу свой способ довести до конца)