Об обобщении параметрически заданных функций(кривых)

[Tcirkubakin]

Известно, что явное представление функции $\left( y=f(x) \right)$ можно обобщить до параметрического задания функции(кривой)(здесь и далее у параметров подразумевается некая область определения):

$$\left\{\begin{array}{rcl} x=f(t), \\ y=g(t). \\\end{array}\right.$$

Если $f(t)$ и $g(t)$ являются элементарными, то в общем случае получившуюся параметрическую функцию удобнее не переводить в явный вид(такая функция не будет элементарной в общем случае). Рассмотрим параметрическую функцию, в которой $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ выразимы в элем. функциях в параметрической форме, но не в явной(здесь альфа, бета, гамма и дельта - функции, t, k1 и k2 - параметры):

$$ y(x) \colon \left\{\begin{array}{rcl} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t). \\\end{array}\right. , \ \text{где}\ \varphi(t) \colon\left\{\begin{array}{rcl} t=\alpha(k_1), \\ \varphi=\beta(k_1). \\\end{array}\right. , \ \psi(t) \colon \left\{\begin{array}{rcl} t=\gamma(k_2), \\ \psi=\delta(k_2). \\\end{array}\right.$$

Назовём получившуюся функцию(или кривую) "псевдопараметрической функцией(кривой) первого порядка". Аналогично, можно ввести понятие "псевдопараметрической функцией(кривой) второго порядка" у которой в параметрическом задании "образующие функции(кривые) будут "псевдопараметрическими функциями(кривыми) первого порядка""(и так далее: третьих, четвёртых порядков, в общем - индуктивно).
Изучаются ли такие представления? Если да, то как они называются, если нет, то почему(ведь во многих случаях их нельзя будет свести к "элементарному" параметрическому представлению; быть может, они были бы полезны)? И можно ли, не обладая навыками программирования, строить их в графопостроителе? Ну и далее, вопросы про интегрирование и дифференцирование, и по нарастающей.

[Утундрий]

$k_1$ должно выражаться через $k_2$.

[Tcirkubakin]

Да, выражается. После небольших выкладок получаем $y(x) \colon \left\{\begin{array}{rcl} x=\beta(k_1), \\ y=\delta(k_2). \\\end{array}\right. , \alpha(k_1)=\gamma(k_2), \alpha(k_1)=t$
Параметр k2 выражается через k1, k1 через t. (в представлении мы избавляемся от переменных k1 и k2 их заменой на t) Но, кажется, это не влияет на возможность представления этой функции в каноническом (параметрическом в элементарных функциях) виде.
То есть, элементарные функции альфа и гамма могут быть такими, что k2 не выразится, как явная элементарная функция от k1, а k1 не обязана в явном виде элементарно выражаться через t. Например, за функцию альфа можно взять: sin(x)+x(подставляем вместо x k1), за гамму: cos(x)+x(подставляем вместо x k2).

[Утундрий]

Всё это похоже на простую замену параметра.

[Tcirkubakin]

Хорошо, перейдем к примерам, может так будет понятнее, в чём я неправ. Допустим, у нас есть уравнение:
$y(x) \colon \left\{\begin{array}{rcl} x=e^{k_1}+k_1, \\ y=k_2-((k_2)^2)^{\frac 1 7}. \\\end{array}\right. , \sin (k_1)+ k_1=\cos (k_2)+k_2, \sin (k_1)+ k_1=t$ , t лежит в некотором множестве допустимых значений.

Как(если вообще это можно) привести, например, уравнение, что я написал, к (каноническому) виду $y(x) \colon \left\{\begin{array}{rcl} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t). \\\end{array}\right.$ (t также принадлежит некот. множеству допуст. значений). Как будут выглядеть элементарные функции фи и пси?

П.С. Извиняюсь, уравнение y(x) выглядит не совсем красиво, но не суть.

[krum]

Что-то я не понимаю, про что все это. Есть кривая на плоскости. Это геометрический объект -- множество точек. Какая разница как его задавать? Чем окружность, заданная уравнением
$x^2+y^2=1$ отличается от окружности $x=\cos t,\quad y=\sin t$?

[Tcirkubakin]

Заголовок: Об обобщении параметрически заданных функций(кривых)

krum в сообщении #1580851 писал(а):

Что-то я не понимаю, про что все это. Есть кривая на плоскости. Это геометрический объект -- множество точек. Какая разница как его задавать? Чем окружность, заданная уравнением
$x^2+y^2=1$ отличается от окружности $x=\cos t,\quad y=\sin t$?

Ну я к тому, что существуют параметрические функции(кривые), невыразимые(или сложно выразимые) в явном (или неявном) представлении через элементарные функции ( окружность сюда не входит, так как её можно задать в неявном виде(как вы задали) или в явном виде через объединение двух элементарных функций: $y=\pm \sqrt{R^2-x^2}$ ). Например, как можно выразить в явном виде (через y=f(x))(или в неявном) все части кривой, являющиеся функциями в $\left\{\begin{array}{rcl} x= \cos (t)+t, \\ y=\sin(t)+t. \\\end{array}\right.$. Я в теме написал о кривой, которую, может быть, будет невозможно или весьма проблематично задать в параметрической форме: $\left\{\begin{array}{rcl} x=f(t), \\ y=g(t). \\\end{array}\right.$ , где f(t) и g(t) -функции в явной форме, являющиеся элементарными(или в неявной форме: $f(x)+g(y)=C$ , где f(x) и g(y) - элементарные функции). Если в чём-то ошибаюсь, то можете меня поправить (если я не ошибаюсь, и кривые(в некоторых случаях функции) невыразимые в параметрической и явной форме через элементарные функции существуют, то почему бы их не начать изучать в их изначальной форме(как я описал в теме или может как-нибудь по другому)?)

[Red_Herring]

Tcirkubakin в сообщении #1580856 писал(а):

невыразимые в параметрической и явной форме через элементарные функции существуют, то почему бы их не начать изучать в их изначальной форме

Так в чём же дело? Вперёд и с песнями. Изучайте!

Вы же не хотите изучать общие функции (что делается в анализе), а некоторые парам-парам-парам-парам-параметрические функции, в важности чего никто, кроме вас не убеждён.

[Doctor Boom]

Tcirkubakin в сообщении #1580802 писал(а):

Да, выражается. После небольших выкладок получаем $y(x) \colon \left\{\begin{array}{rcl} x=\beta(k_1), \\ y=\delta(k_2). \\\end{array}\right. , \alpha(k_1)=\gamma(k_2), \alpha(k_1)=t$

Вы упростили, надо проще $k_1=k_2$, тогда все выше неверно

[krum]

Tcirkubakin в сообщении #1580856 писал(а):

й форме через элементарные функции

Вот эта тема о выразимости чего-то там через элементарные функции она актуальность потеряла очень давно, когда народ понял, что обыно интегралы не берутся в элементарных функциях, дифуры не решаются в элементарных функциях и т.д. Это к концу 19 в. уже понятно было. Поэтому сейчс доказывать, что что-то не решается в элементарных функциях -- это доказывать то, что и так всем понятно. Любители этого, вроде Аскольда Хованского до сих пор не перевелись, но это уже давно совершенно маргинальный раздел и ни кому за исключением нескольких человек это неинтересно.

[Tcirkubakin]

Red_Herring в сообщении #1580860 писал(а):

Вы же не хотите изучать общие функции (что делается в анализе), а некоторые парам-парам-парам-парам-параметрические функции, в важности чего никто, кроме вас не убеждён.

Мой стартовый пост скорее прихоть, чем необходимость(может надо было его опубликовать в другом разделе, скажем, посвященным околоматематическим темам?), сейчас изучаю логику, против матанализа ничего не имею, планировал его начать читать после того, как разберусь с учебником логики (мне математика интересна во многих проявлениях); ранее пытался его проходить(3 года назад), читал Кудрявцева и Садовничего, у последнего прошёл дифференц. и интегральное исчисления одной переменной, дальше(где-то после 500 страницы) стал плохо понимать, на форумах зарегистрирован не был, никто помочь не мог. Хотелось бы довести дело до конца, как с изучением логики, так и с анализом.

krum в сообщении #1580884 писал(а):

Вот эта тема о выразимости чего-то там через элементарные функции она актуальность потеряла очень давно, когда народ понял, что обыно интегралы не берутся в элементарных функциях, дифуры не решаются в элементарных функциях и т.д. Это к концу 19 в. уже понятно было. Поэтому сейчс доказывать, что что-то не решается в элементарных функциях -- это доказывать то, что и так всем понятно. Любители этого, вроде Аскольда Хованского до сих пор не перевелись, но это уже давно совершенно маргинальный раздел и ни кому за исключением нескольких человек это неинтересно.

Что касается моей прихоти, то она возникла из-за нескольких (возможно утопических) идей. Вот одна из них:
Известно, что первообразная не всякой элементарной функции является элементарной. Можно ли множество элем. функций снабдить конечным количеством неких "замечательных функций" так, чтобы операция интегрирования стала замкнутой в получивш. множестве функций?(доказано ли, что так сделать нельзя?).
Похожий вопрос у меня связан с диф. уравнениями, но тут я почти некомпетентен (с диф. уравнениями связан весьма поверхностно). Заранее благодарен за ответы.

[Red_Herring]

Tcirkubakin в сообщении #1580905 писал(а):

Можно ли множество элем. функций снабдить конечным количеством неких "замечательных функций" так, чтобы операция интегрирования стала замкнутой в получивш. множестве функций?

А зачем? Существует изрядное количество замечательных функций (именуемых специальными функциями), возникающих как решения очень важных ОДУ. Некоторые даже являются элементарными финкциями и последний факт в общем-то гораздо менее важен, чем их другие свойства. Существуют книги, им посвящённые, и они рассматриваются в другом контексте.

Математики изучают разные объекты потому что им интересно или важно для приложений, или хотя бы потому, что за это им платят, но не потому, что кому-то не осилившему анализ первых двух лет пришла в голову "идея".

[Not_Al]

krum в сообщении #1580884 писал(а):

Поэтому сейчс доказывать, что что-то не решается в элементарных функциях -- это доказывать то, что и так всем понятно.

Действительно ли это так очевидно как вы говорите? Для большинства случаев вы (да и не только вы) не сможете сказать решается диффур в элементарных функциях или нет. Значит вопрос нетривиален, почему бы его тогда не изучать? Могу согласиться с тем, что для анализа и ДУ пользы это даст немного, но точно нельзя утверждать, что никаких интересных вещей мы не узнаем.

Red_Herring в сообщении #1580915 писал(а):

А зачем?

Например, чтобы узнать насколько операция интегрирования (либо еще какое естественное аналитическое преобразование) расширяет наше множество функций (ограничиваться элементарными функциями я бы не стал) . Либо нам интересно относительно каких преобразований множество функций замкнуто, хотя в такой постановке вопрос выглядит безнадежным. Я тут вижу аналогию с изучением функциональных классов во множестве булевых функций.

Red_Herring в сообщении #1580915 писал(а):

Математики изучают разные объекты потому что им интересно или важно для приложений, или хотя бы потому, что за это им платят, но не потому, что кому-то не осилившему анализ первых двух лет пришла в голову "идея".

Если ОП математик (возможно в будущем) и ему это интересно, то вы просто оскорбили его.
В ином случае, некоторые объекты в математике появились просто из-за их нетривиальных свойств и в дальнейшем из них развивали целые теории, которые потом могли находить применение в математике, поэтому не вижу смысла в упреке.
Либо вы имели ввиду что-то другое.

[Aritaborian]

Tcirkubakin в сообщении #1580905 писал(а):

Можно ли множество элем. функций снабдить конечным количеством неких "замечательных функций" так, чтобы операция интегрирования стала замкнутой в получивш. множестве функций?(доказано ли, что так сделать нельзя?).

Почитайте это обсуждение на Math.SE.

[mihaild]

Not_Al в сообщении #1580926 писал(а):

Для большинства случаев вы (да и не только вы) не сможете сказать решается диффур в элементарных функциях или нет

Да в общем-то даже сказать, является ли $0$ решением диффура в общем случае нельзя.

В целом я не соглашусь с krum, что вопрос неинтересен. Просто это вопрос алгебры (символьных вычислений), а не анализа.

Red_Herring в сообщении #1580915 писал(а):

Математики изучают разные объекты потому что им интересно или важно для приложений, или хотя бы потому, что за это им платят, но не потому, что кому-то не осилившему анализ первых двух лет пришла в голову "идея".

Я бы сказал, что вопрос о том, как устроено замыкание какой-то известной операции на известном множестве - вполне осмысленен.