Предел последовательности

[LevLisko]

Дана последовательно, такая что $x_1 > 0$ и $x_{n+1} = \ln(1 + x_n)$ для $n \geqslant 1$ нужно найти $\lim_{n \to \infty} nx_n$. Совсем не знаю как решать, думал исходить из предположения, что $\lim_{n \to \infty} nx_n = A$, тогда логично прикинуть $x_n = A/n$ отсюда $A/n = \ln(1+x_{n-1})$ значит $x_{n-1} = e^{A/n} - 1$ потом думал с пределом сделать чего, но ничего как то не выходит.

P.S. я учусь в 8 классе и решил математический анализ изучить, книжку почитал, вроде понятно, решил задачки порешать вроде получалось, но друг недавно дал эту задачу, я вот уже час решал и так и не смог решить, я безнадежен и математика не мое?

[zykov]

$\ln(1+x) < x$ при $x>0$
Значит последовательность будет убывать для любого такого $x_1$, и видно, что она будет стремится к нулю.

Около нуля $\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2}$.
Значит $x_{n+1} \approx x_n - \frac{x_n^2}{2}$, т.е. $x_{n+1} - x_n \approx -\frac{x_n^2}{2}$.
Рассмотрим вместо последовательности неперывную функцию $x(t)$, такую что $x'(t)=-\frac{x^2(t)}{2}$.
(Если $x(t)=x_n$, то $x(t+1) \approx x_{n+1}$.)
Тогда $x(t)=\frac{2}{C+t}$.
Значит и $x_n$ имеет асимптотику $x_n \approx \frac{2}{C+n}$

Предел $n x_n$ будет равен 2.

[LevLisko]

zykov
Спасибо, только не понял откуда взялось $x(t) = 2/(C+t)$

[zykov]

Решение дифура

zykov в сообщении #1580471 писал(а):

$x'(t)=-\frac{x^2(t)}{2}$.

[LevLisko]

zykov
А теперь все понял, спасибо