Подсчитать количество слов длины семь из трех единиц

[gevaraweb]

Подскажите, пожалуйста, как найти количество комбинаций в случаях:
а) слова длины семь, алфавит {0,1}.
Сколько всего слов, в которых ровно три единицы?
1110000
0011001
0101100
1001010
...
б) слова длины семь, алфавит {0,1,2}.
Сколько всего слов, в которых ровно три ненулевых значения (единицы и двойки)?
1120000
0010101
0010201
0012001
0202200
1001010
...
Комбинаторика - мое слабое место (там думать надо). Какая это выборка?
Какой алгоритм? Если комбинаций мало, придется увеличивать длину слова...

[Mihr]

Очевидно, первая задача - на использование готовой формулы (числа сочетаний). Решение второй задачи получается из решения первой дополнительным использованием правила произведения (для каждой ненулевой цифры есть две возможности - оказаться единицей либо двойкой).

[KoppeKToP]

Давайте попробуем так рассуждать.

1. Здесь надо посчитать число выборов трёх элементов из 7. Это $\binom{7}{3}$.

2. Здесь посчитаем числа выборов четырех их семи (что соответствует нулям). Их $\binom{7}{4}$, однако теперь каждому такому выбору соответствует слово длины 3 из алфавита единиц двоек. Таких слов $2^3$, поэтому имеем $2^3 \binom{7}{4}$.

[gevaraweb]

Mihr в сообщении #1580190 писал(а):

Очевидно, первая задача - на использование готовой формулы (числа сочетаний).

а) Так. Сочетанием из n по k называется набор из k элементов, выбранных из n-элементного множества, в котором не учитывается порядок элементов.
Число сочетаний из n по k равно:
C_n^k = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}.
n=2 k=7
C_2^7 = \frac{2!}{7!\left(2-7\right)!}.

Что-то не то...

[Mihr]

gevaraweb в сообщении #1580194 писал(а):

Что-то не то...

И впрямь не то
$n$ - общее число позиций, равно 7
$k$ - число выбранных (для единиц) позиций, равно 3

[gevaraweb]

Mihr в сообщении #1580195 писал(а):

И впрямь не то

Аа )
а) Итак, позиции - множество {1,2,3,4,5,6,7}
Выбираем по три элемента без повторений (сочетания) {2,3,4}...
n=7, k=3
C_7^3 = \frac{7!}{3!\left(7-3\right)!} = 35.
Эх, мало. Хотел тысяч 10.
Так. Теперь надо думать над б).

[Mihr]

gevaraweb в сообщении #1580197 писал(а):

Хотел тысяч 10.

Скромное желание. При том, что общее количество слов длины семь в алфавите из двух символов равно всего-навсего $2^7=128$

[gevaraweb]

Mihr в сообщении #1580190 писал(а):

Решение второй задачи получается из решения первой дополнительным использованием правила произведения

KoppeKToP в сообщении #1580191 писал(а):

2. Здесь посчитаем числа выборов четырех их семи (что соответствует нулям). Их $\binom{7}{4}$, однако теперь каждому такому выбору соответствует слово длины 3 из алфавита единиц двоек. Таких слов $2^3$, поэтому имеем $2^3 \binom{7}{4}$.

А, точно ). Дошло ).
б) Итак, позиции - множество {1,2,3,4,5,6,7}
Выбираем по четыре элемента (теперь это нули) без повторений (сочетания) {2,3,4,5}...
n=7, k=4
C_7^4 = \frac{7!}{4!\left(7-4\right)!} = 35. Опять 35.
Но теперь каждому такому выбору соответствует слово длины 3 из алфавита единиц и двоек.
Итого 2^3 $\cdot $C_7^4 = 280.
Ну гораздо лучше, если правильно сделал. Благодарю всех за помощь =).

[ipgmvq]

Любопытно, что для обеих задач в вероятностном смысле и исходя из того, что каждое число равновероятно, количество единиц в первой задаче и количество нулей во второй задаче (в обоих случаях обозначим как $k$) является случайной величиной, имеющей биномиальное распределение с функцией (массы) вероятности
$C_{n}^k p^k (1-p)^{n-k}$, где
$n = 7$
$k = 3$, и
вероятность $p = \frac{1}{2}$ в первой задаче и $\frac{1}{3}$ во второй задаче.

Умножив эту вероятность 3-х единиц $C_{7}^3 (\frac{1}{2})^3 (1-\frac{1}{2})^{7-3}$ и 3-х нулей $C_{7}^3 (\frac{1}{3})^3 (1-\frac{1}{3})^{7-3}$ на общее количество чисел $2^7$ в первой задаче и $3^7$ во второй задаче, можно получить искомое количество 35 и 560 соответственно.

[gevaraweb]

ipgmvq в сообщении #1580221 писал(а):

имеющей биномиальное распределение

Схема Бернулли? Интересно. Только почему второй ответ не сходится? Или у меня ошибка?

[ipgmvq]

gevaraweb в сообщении #1580224 писал(а):

Или у меня ошибка?

Вероятно ошибка, потому что перебор в Питоне тоже даёт 560 для второй задачи:

Используется синтаксис Python

import numpy as np

ответ = 0
for i in range(3**7):
    if (np.array(list(np.base_repr(i, base=3).zfill(7)))=='0').sum() == 3:
        ответ += 1
        
print(ответ)
 

[KoppeKToP]

ipgmvq
Ошибка у вас, но не в решении, а в подставленных числах - надо было вместо 3 подставлять 4 (соответствует числу нулей).

[ipgmvq]

KoppeKToP в сообщении #1580228 писал(а):

Ошибка у вас, но не в решении, а в подставленных числах - надо было вместо 3 подставлять 4 (соответствует числу нулей).

Точно, нуля же 4 по задаче. Спасибо!
$3^7 C_{7}^4 (\frac{1}{3})^4 (1-\frac{1}{3})^{7-4} = 280$

Используется синтаксис Python

import numpy as np

ответ = 0
for i in range(3**7):
    if (np.array(list(np.base_repr(i, base=3).zfill(7)))=='0').sum() == 4:
        ответ += 1
       
print(ответ)