2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение04.02.2023, 13:42 


14/02/20
847
mihaild

Рассмотрим

$\int_S |f_n| \leqslant \sum_{k=1}^\infty |\alpha_n^k| \cdot \mu(X_n^k \cap S)$. Правая часть стремится к нулю при $\mu(S)\to 0$, но это нужно доказать.

Остаток этого ряда стремится к нулю. Закрепим некоторое $p$ такое что для некоторого начального значения $S$ верно, что $\sum_{k=p+1}^{\infty} |\alpha_n^k| \cdot \mu(X_n^k \cap S)<\varepsilon/2$. С уменьшением меры $S$ эта сумма может только уменьшаться.

Далее рассмотрим $\sum_{k=1}^p |\alpha_n^k| \cdot \mu(X_n^k \cap S)\leqslant\max_{i=1..p}|\alpha_n^i|\sum_{k=1}^p\mu(X_n^k \cap S)\leqslant\max_{i=1..p}|\alpha_n^i|\mu(S)$. Соответственно, взяв достаточно малую $\mu(S)=\varepsilon/\left(2\max_{i=1..p}|\alpha_n^i|\right)$ мы оценим наш ряд, а значит и наш интеграл, в $\varepsilon$.

-- 04.02.2023, 13:49 --

Да, в целом понятно! Всюду плотности простых (по КФ) функций в $L_1$ достаточно. Немного я удивлен, что доказать это оказалось сложнее, чем я ожидал. Спасибо большое! Я только не понял вот этого
mihaild в сообщении #1580156 писал(а):
причем сходимость равномерная по $S$

В плане, что это значит и зачем это нужно...

И еще, что вы думаете по этому поводу

artempalkin в сообщении #1580136 писал(а):
С другой стороны, ведь непрерывные (на отрезке, то есть и ограниченные тоже) функции плотны в $L_1$?

Правда, подозреваю, что всюду плотность непрерывных функций в $L_1$ можно доказать как раз-таки, используя всюду плотность простых с конечным числом значений функций в $L_1$

-- 04.02.2023, 13:51 --

krum в сообщении #1580165 писал(а):
а чем Вас не устраивает доказательство, которое дает Колмогоров-Фомин?

Хммм, я и задачи такой там не видел, не то что доказательства, а где оно там?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение04.02.2023, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
artempalkin в сообщении #1580183 писал(а):
Хммм, я и задачи такой там не видел, не то что доказательства, а где оно там?
Ищите в оглавлении или предметном указателе абсолютную непрерывность интеграла Лебега. В издании 1976 г. это теорема 5 из гл. V, § 5, п. 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение04.02.2023, 14:35 


14/02/20
847
RIP в сообщении #1580186 писал(а):
Ищите в оглавлении или предметном указателе абсолютную непрерывность интеграла Лебега. В издании 1976 г. это теорема 5 из гл. V, § 5, п. 4

А, ну да. Я, честно говоря, думал, что это другое свойство. В целом он доказывает так же, как и я (ну или я так же, как и он)

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение04.02.2023, 16:45 
Аватара пользователя


11/11/22
304
artempalkin в сообщении #1580183 писал(а):
Правда, подозреваю, что всюду плотность непрерывных функций в $L_1$ можно доказать как раз-таки, используя всюду плотность простых с конечным числом значений функций в $L_1$

все опять такти зависит от способа построения теории. Например, можно построить абстрактную теорию интеграла Лебега, а потом лебегову меру в $\mathbb{R}^m$ как частную реализацию, беря за одно из оснований то, что непрерывные функции с компактным носителем должны быть плотны в $L^1$ и что на таких функциях интеграл Лебега должен совападать с интегралом Римана

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение04.02.2023, 16:53 


14/02/20
847
krum в сообщении #1580202 писал(а):
беря за одно из оснований то, что непрерывные функции с компактным носителем должны быть плотны в $L^1$

Вы имеете в виду, рассмотреть пространство $\widetilde{L_1}$ непрерывных на отрезке (скажем) функций с полунормой $\int\limits_a^b|f(x)|dx$, а потом пополнить это все дело по Хаусдорфу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение04.02.2023, 17:11 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Нет, не это. Я имею в виду, конструктивно построить меру в $\mathbb{R}^m$ , отталкиваясь от указанный свойств. Имеено эта часть вопроса мне нравится как издожена в Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. - М.: Мир, 1969. Но, должен предупредить, что этот текст во много раз сложнее Колмогорова-Фомина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение04.02.2023, 18:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8822
Цюрих
artempalkin в сообщении #1580183 писал(а):
Закрепим некоторое $p$ такое что для некоторого начального значения $S$ верно, что $\sum_{k=p+1}^{\infty} |\alpha_n^k| \cdot \mu(X_n^k \cap S)<\varepsilon/2$. С уменьшением меры $S$ эта сумма может только уменьшаться.
Вот прямо так не получится, потому что при переходе от одного $S$ к другому, даже с меньшей мерой, сумма может вырасти. Нужно ограничить остаток ряда при $S = Q$, и из этого уже будет ограничение с произвольным $S$.
artempalkin в сообщении #1580183 писал(а):
В плане, что это значит и зачем это нужно
Это значит, что можно выбрать индекс, остаток ряда для которого мал при любом $S$.
artempalkin в сообщении #1580183 писал(а):
И еще, что вы думаете по этому поводу
artempalkin в сообщении #1580136 писал(а):
С другой стороны, ведь непрерывные (на отрезке, то есть и ограниченные тоже) функции плотны в $L_1$?
Правда, подозреваю, что всюду плотность непрерывных функций в $L_1$ можно доказать как раз-таки, используя всюду плотность простых с конечным числом значений функций в $L_1$
Мне совсем неочевидно, зачем тут непрерывность, нужна только ограниченность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение05.02.2023, 08:17 


14/02/20
847
mihaild в сообщении #1580220 писал(а):
Вот прямо так не получится, потому что при переходе от одного $S$ к другому, даже с меньшей мерой, сумма может вырасти. Нужно ограничить остаток ряда при $S = Q$, и из этого уже будет ограничение с произвольным $S$.

А, ну да. Я как-то автоматически считал, что как в моем исходном вопросе каждое следующее $S$ является подмножеством предыдущего. Но так, как вы предлагаете, универсальнее.
mihaild в сообщении #1580220 писал(а):
Это значит, что можно выбрать индекс, остаток ряда для которого мал при любом $S$.

Да, так и получилось.
mihaild в сообщении #1580220 писал(а):
Мне совсем неочевидно, зачем тут непрерывность, нужна только ограниченность.

Да, конечно, ограниченности хватит. Просто всюду плотность непрерывных функций - такой общеизвестный факт, что как-то хочется им воспользоваться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение10.02.2023, 09:15 


14/02/20
847
krum
На тему "в мире"

(Оффтоп)

https://youtu.be/ohcqCvhqtpk?list=PL4_hYwCyhAvbWN6okFucMuLnDySNJE1c9&t=126
https://youtu.be/Z_U_D0x-uls?list=PL4_h ... E1c9&t=210
Слушаю его лекции, он постоянно так говорит

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение10.02.2023, 15:55 
Аватара пользователя


11/11/22
304
artempalkin в сообщении #1581000 писал(а):
Слушаю его лекции, он постоянно так говорит

а кто кроме него еще так говорит?

-- 10.02.2023, 15:56 --

не понял , кстати, его мысль (21:34) чем теорема Хана-Банаха не подходит для ответа на вопрос?

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение10.02.2023, 16:17 
Заслуженный участник


13/12/05
4548
krum в сообщении #1581021 писал(а):
не понял , кстати, его мысль (21:34) чем теорема Хана-Банаха не подходит для ответа на вопрос?

Аксиома выбора, видимо, не нравится

 Профиль  
                  
 
 Re: Очевидный момент, но как строго доказать?
Сообщение10.02.2023, 17:43 


14/02/20
847
krum в сообщении #1581021 писал(а):
а кто кроме него еще так говорит?

Эээ, ну, мне кажется, даже чисто математически один человек разбивает ваш тезис о том, что "так не говорят". Можете лично ему написать, что "так не говорят", думаю, он сильно удивится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group