2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Единственность интерполяционного полинома
Сообщение04.02.2023, 00:47 
Добрый день.
В книге "Вычислительные методы для инженеров" (авторы Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В.) в разделе про полиномиальную интерполяцию написано следующее.
Функция $f$ задана таблицей своих значений:
$$y_i = f(x_i) \quad (i = 0,1,2, \ldots, n),$$
а вычисления производятся в точках $x$, не совпадающих с табличными.

Для заданной таблицы многочлен $P_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n a_k x^k$ степени $n$ называется интерполяционным многочленом, если он удовлетворяет условиям
$$P_n(x_i) = y_i \quad (i = 0,1,2, \ldots, n). \eqno{(1)}$$

Дальше записывается определитель Вандермонда и говорится, что он отличен от нуля, если узлы попарно различны.

Формулируется теорема.

Теорема. Существует единственный интерполяционный многочлен степени $n$, удовлетворяющий условиям (1).

Вопрос — как эта теорема согласуется со случаем, когда мы возьмём, например, точки на прямой: $(1;1), (2;2), (3;3), \ldots ?$ Тогда же получится многочлен не степени $n$, а многочлен степени 1? Или я как-то неправильно рассуждаю?

 
 
 
 Re: Единственность интерполяционного полинома
Сообщение04.02.2023, 01:39 
Mash_7 в сообщении #1580147 писал(а):
многочлен степени 1

Он же -- многочлен степени $n$, у которого все первые коэффы равны нулю. Или Вы считаете, что через эти точки пройдет еще что-то не выше второй степени, что будет отличаться от прямой?

 
 
 
 Re: Единственность интерполяционного полинома
Сообщение04.02.2023, 07:53 
Mash_7 в сообщении #1580147 писал(а):
степени $n$ называется
Это опечатка, тут говориться о многочлене степени не выше $n$. Так довольно часто говорят(сокращают) когда понятно о чем речь.

 
 
 
 Re: Единственность интерполяционного полинома
Сообщение04.02.2023, 22:55 
Null в сообщении #1580159 писал(а):
Mash_7 в сообщении #1580147 писал(а):
степени $n$ называется
Это опечатка, тут говориться о многочлене степени не выше $n$. Так довольно часто говорят(сокращают) когда понятно о чем речь.


Спасибо, значит всё-таки надо уточнить эту теорему.

 
 
 
 Re: Единственность интерполяционного полинома
Сообщение05.02.2023, 01:42 
Mash_7 в сообщении #1580249 писал(а):
Спасибо, значит всё-таки надо уточнить эту теорему.

не надо ее уточнять... вам уже выше изложили почему.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group