Чтобы показать исходное утверждение для простых функций, обратите внимание, что ряд, задающий значение интеграла Лебега от простой функции, сходится, значит его остаток мал. А на начальном отрезке конечное число значений.
Мне кажется, это прямо-таки сильно технически трудно... хотя бы потому что это
А на начальном отрезке конечное число значений.
совсем не обязательно :( Ведь функция может быть неограничена в нескольких местах. Или даже, наверное, в счетном количестве мест? не вижу причин, почему нет...
В целом вашу идею я понял, но, кажется, перспективы туманны
С другой стороны, ведь непрерывные (на отрезке, то есть и ограниченные тоже) функции плотны в
![$L_1$ $L_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/9/929ed909014029a206f344a28aa47d1582.png)
? То есть в
![$L_2$ $L_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/2/4327ea69d9c5edcc8ddaf24f1d5b47e482.png)
заведомо да, хотя бы по теореме Фейера, но ведь и в
![$L_1$ $L_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/9/929ed909014029a206f344a28aa47d1582.png)
тоже? Тогда с непрерывными функциями можно сделать то же самое.