Очевидный момент, но как строго доказать?

[artempalkin]

К этому вопросу пришел, исследуя вопрос "равностепенной непрерывности" в мире $L_2$.

Допустим, у меня есть $f(x)\in L_2[a,b]$.

Вроде очевидно, $\lim\limits_{\Delta\to 0+}\int\limits_{b-\Delta}^bf(x)^2dx=0$, но как это доказать? Это легко доказывается, если под интегралом нет квадрата (Коши-Буняковским), или в мире $C$ (т.к. функция будет ограничена). Но здесь вроде очевидно, но строгое док-во...

[krum]

Общий факт следующий. Пусть $(Q,\mu)$ -- пространствро с мерой.
и задана функция $f\in L^1(Q)$
Тогда для любого $\sigma>0$ существует $\delta>0$ такое, что $\mu(S)<\delta\Longrightarrow\int_S|f|d\mu<\sigma$;
$S\subset Q$ -- измеримое множество, есен пень
Проверяем этот факт для ступенчатых функций, приближаем $f$ ступенчатыми функциями...

artempalkin в сообщении #1579844 писал(а):

в мире

так не говорят

[artempalkin]

krum в сообщении #1579859 писал(а):

Тогда для любого $\sigma>0$ существует $\delta>0$ такое, что $\mu(S)<\delta\Longrightarrow\int_S|f|d\mu<\sigma$;
$S\subset Q$ -- измеримое множество, есен пень

Получается, это своего рода "равномерная непрерывность" в мире $L_1$.

Я думал о приближении простыми функциями, но все же не смог понять, как именно это сделать.

Даже если этот факт доказать для простых функций (тоже, кстати, не совсем понятно, как), то потом нужно будет менять пределы местами. Пусть $f_n\rightrightarrows f$ и все $f_n$ простые:

$\lim\limits_{\mu(S)\to 0}\int\limits_S\lim\limits_{n\to\infty}f_nd\mu=$\lim\limits_{n\to\infty}\lim\limits_{\mu(S)\to 0}\int\limits_Sf_nd\mu=0$

но почему обосновано менять местами пределы?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1579952 писал(а):

Даже если этот факт доказать для простых функций (тоже, кстати, не совсем понятно, как)

Простая функция ограничена.

artempalkin в сообщении #1579952 писал(а):

то потом нужно будет менять пределы местами

Зачем пределы? Возьмите простую функцию, близкую по $L_p$ норме к вашей. Для простой функции всё выполнено, а интеграл по любому множеству от вашей функции слабо отличается от интеграла от этой простой.

Кстати, $\rightrightarrows$ это обычно равномерная сходимость, и не любая интегрируемая функция равномерно приближается простыми.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1579953 писал(а):

Простая функция ограничена.

Так, я не силен на этой территории, но разве простые функции обязательно ограничены? может быть тут вопрос терминологии и они называются как-то по-другому, но если измеримая функция неограничена, но нам для того, чтобы ее приблизить равномерно, понадобится функция со счетным числом значений и неограниченная...

Может мы как-то по-разному интеграл Лебега определяем? опять же, я не спец в этом, но я считал, что это определяется как предел интегралов от равномерно сходящейся последовательности простых функций...

[krum]

На всякий случай: я следую терминологии Сержа Лэнга. Соответственно, ступенчатая функция (step function) $f$ это простая функция (simple function) для которой верно неравенство $\mu\{f\ne 0\}<\infty$
Простая функция это измеримая функция с конечным множеством значений.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1579955 писал(а):

Так, я не силен на этой территории, но разве простые функции обязательно ограничены?

Простая функция - функция, принимающее конечное число значений. В учебнике, где строится интеграл Лебега, это определение наверняка есть.

artempalkin в сообщении #1579955 писал(а):

но нам для того, чтобы ее приблизить равномерно, понадобится функция со счетным числом значений и неограниченная

Правильно, только зачем нам приближать функцию равномерно?

artempalkin в сообщении #1579955 писал(а):

это определяется как предел интегралов от равномерно сходящейся последовательности простых функций...

Обычно интеграл Лебега от положительной функции определяется как супремум интегралов от простых функций, не превосходящих нашу (поточечно).

[krum]

Пространство ступенчатых функций плотно в $L^1$

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1579981 писал(а):

Простая функция - функция, принимающее конечное число значений. В учебнике, где строится интеграл Лебега, это определение наверняка есть.

Ох, да... В Колмогорове простая функция - измеримая функция, принимающая не более чем счетное число значений. Ну и про определение интеграла Лебега я писал, что это предел последовательности интегралов от равномерно сходящейся последовательности простых функций :(
В лекциях Моисеева так же. Эту тему я плюс-минус только по этим пособиям изучал.
Эххх, нужно мне, наверное, понять тогда ваши определения, с ними, наверное, тут все проще получается...

-- 02.02.2023, 22:24 --

krum в сообщении #1579984 писал(а):

Пространство ступенчатых функций плотно в $L^1$

Да, с точки зрения моего определения интеграла Лебега - это утверждение равносильно моему исходному вопросу. Соответственно, со своими определениями я не знаю пока что, как доказать любое из них.

[mihaild]

artempalkin да, тут я неправ, определение в разных учебниках разное. У Колмогорова-Фомина ИМХО хуже. Я выше привел определения из "Основ математического анализа" Рудина. Но в любом случае эквивалентность этого всего надо доказывать.

Предел Вам всё равно не нужен (возьмите простую по КФ функцию, хорошо приближающую исходную - раз сходимость равномерная, то интеграл от разности по маленькому множеству будет мал). Чтобы показать исходное утверждение для простых функций, обратите внимание, что ряд, задающий значение интеграла Лебега от простой функции, сходится, значит его остаток мал. А на начальном отрезке конечное число значений.
(я тут махнул рукой в сторону нужной идеи, если будет непонятно, напишу чуть подробнее)

[krum]

Оптимизация в Колмогорове-Фомине достигается за счет того, что там строится интеграл Лебега лишь для пространства конечной меры. Относительно пространств бесконечной меры там происходит некоторое рукомахательство.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1579996 писал(а):

Чтобы показать исходное утверждение для простых функций, обратите внимание, что ряд, задающий значение интеграла Лебега от простой функции, сходится, значит его остаток мал. А на начальном отрезке конечное число значений.

Мне кажется, это прямо-таки сильно технически трудно... хотя бы потому что это

mihaild в сообщении #1579996 писал(а):

А на начальном отрезке конечное число значений.

совсем не обязательно :( Ведь функция может быть неограничена в нескольких местах. Или даже, наверное, в счетном количестве мест? не вижу причин, почему нет...
В целом вашу идею я понял, но, кажется, перспективы туманны

С другой стороны, ведь непрерывные (на отрезке, то есть и ограниченные тоже) функции плотны в $L_1$? То есть в $L_2$ заведомо да, хотя бы по теореме Фейера, но ведь и в $L_1$ тоже? Тогда с непрерывными функциями можно сделать то же самое.

[mihaild]

Под "начальным отрезком" я понимал начальный отрезок ряда. Т.е. фактически Вам надо доказать, что функцией с конечным числом значений можно хорошо приблизить простую по К-Ф.

[mihaild]

Более точно, пусть $f \in L^1(Q)$. Рассмотрите последовательность простых функций $f_n \rightrightarrows f$. Тогда $\int_Q |f_n(x) - f(x)|\, d\mu < \varepsilon$ для достаточно больших $n$.
$f_n = \sum_{k = 1}^\infty \alpha_n^k \mathbb I_{X_n^k}$, а $\int_S f_n = \sum_{k=1}^\infty \alpha_n^k \cdot \mu(X_n^k \cap S)$ для любого $S$, причем сходимость равномерная по $S$ (в зависимости от того, что Вы уже знаете, это может понадобиться доказать, но доказывается легко).
С другой стороны $\int_S |f_n(x) - f(x)|\, d\mu < \varepsilon$. При этом $\int_S |f(x)|\, d\mu \leq \int_S |f_n(x)|\, d\mu + \int_S |f_n(x) - f(x)|\, d\mu$.
Пусть теперь $\mu(S) < \delta$. Для второго слагаемого у нас уже была оценка, не зависящая от $S$. Оцените с использованием ряда и первое слагаемое в зависимости от $\delta$.

[krum]

artempalkin
а чем Вас не устраивает доказательство, которое дает Колмогоров-Фомин?