2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Колмогоров, Фомин, гл.5, параграф 3, пункт 2, доп.замечание1
Сообщение30.01.2023, 21:39 


20/09/21
54
Цитата:
Предположение о том, что исходная мера $m$ задана на полукольце (а не на некоторой произвольной системе множеств), существенно для однозначности ее продолжения. Рассмотрим в единичном квадрате систему вертикальных и горизонтальных прямоугольников, т. е. таких прямоугольников, у которых или длина или ширина равна 1 (рис. 18), и припишем каждому такому прямоугольнику меру, равную его площади. На порожденную этими прямоугольниками алгебру (а тем более $\sigma$-алгебру) такая мера может быть продолжена неоднозначно (укажите хотя бы два различных продолжения).


(рисунок 18) https://djvu.online/jpg/V/d/d/VddXQrahV6cp3/276.webp

Понятно, что одно из продолжений - это стандартная мера, где прямоугольник, являющийся пересечением двух полос имеет меру равную своей площади.
А как найти пример другого продолжения? Надо как-то доопределить меры 9 прямоугольников, возникающих при пересечении двух полос, чтобы выполнялись аксиомы меры, но мера была отлична от стандартной? А как это сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Фомин, гл.5, параграф 3, пункт 2, доп.замечание1
Сообщение30.01.2023, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8772
Цюрих
Попробуйте найти какую-нибудь неотрицательную функцию $f(x, y)$ такую что $\int_0^1 f(x, y)\, dx = \int_0^1 f(x, y)\, dy = 1$ (т.е. интеграл по любому горизонтальному и вертикальному отрезку равен $1$). Объявите мерой множества интеграл от этой функции по этому множеству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоров, Фомин, гл.5, параграф 3, пункт 2, доп.замечание1
Сообщение30.01.2023, 22:30 


20/09/21
54
mihaild в сообщении #1579548 писал(а):
Попробуйте найти какую-нибудь неотрицательную функцию $f(x, y)$ такую что $\int_0^1 f(x, y)\, dx = \int_0^1 f(x, y)\, dy = 1$ (т.е. интеграл по любому горизонтальному и вертикальному отрезку равен $1$). Объявите мерой множества интеграл от этой функции по этому множеству.


Можно взять например $f(x,y)=1+\frac{1}{100}(2x-1)(2y-1)$. В итоге получается малое "возмущение" исходной меры... Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group