Колмогоров, Фомин, гл.5, параграф 3, пункт 2, доп.замечание1

[Kuga]

Цитата:

Предположение о том, что исходная мера $m$ задана на полукольце (а не на некоторой произвольной системе множеств), существенно для однозначности ее продолжения. Рассмотрим в единичном квадрате систему вертикальных и горизонтальных прямоугольников, т. е. таких прямоугольников, у которых или длина или ширина равна 1 (рис. 18), и припишем каждому такому прямоугольнику меру, равную его площади. На порожденную этими прямоугольниками алгебру (а тем более $\sigma$-алгебру) такая мера может быть продолжена неоднозначно (укажите хотя бы два различных продолжения).

(рисунок 18) https://djvu.online/jpg/V/d/d/VddXQrahV6cp3/276.webp

Понятно, что одно из продолжений - это стандартная мера, где прямоугольник, являющийся пересечением двух полос имеет меру равную своей площади.
А как найти пример другого продолжения? Надо как-то доопределить меры 9 прямоугольников, возникающих при пересечении двух полос, чтобы выполнялись аксиомы меры, но мера была отлична от стандартной? А как это сделать?

[mihaild]

Попробуйте найти какую-нибудь неотрицательную функцию $f(x, y)$ такую что $\int_0^1 f(x, y)\, dx = \int_0^1 f(x, y)\, dy = 1$ (т.е. интеграл по любому горизонтальному и вертикальному отрезку равен $1$). Объявите мерой множества интеграл от этой функции по этому множеству.

[Kuga]

mihaild в сообщении #1579548 писал(а):

Попробуйте найти какую-нибудь неотрицательную функцию $f(x, y)$ такую что $\int_0^1 f(x, y)\, dx = \int_0^1 f(x, y)\, dy = 1$ (т.е. интеграл по любому горизонтальному и вертикальному отрезку равен $1$). Объявите мерой множества интеграл от этой функции по этому множеству.

Можно взять например $f(x,y)=1+\frac{1}{100}(2x-1)(2y-1)$. В итоге получается малое "возмущение" исходной меры... Спасибо.