2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Колмогоров, Фомин, гл.5, параграф 3, пункт 2, доп.замечание1
Сообщение30.01.2023, 21:39 
Цитата:
Предположение о том, что исходная мера $m$ задана на полукольце (а не на некоторой произвольной системе множеств), существенно для однозначности ее продолжения. Рассмотрим в единичном квадрате систему вертикальных и горизонтальных прямоугольников, т. е. таких прямоугольников, у которых или длина или ширина равна 1 (рис. 18), и припишем каждому такому прямоугольнику меру, равную его площади. На порожденную этими прямоугольниками алгебру (а тем более $\sigma$-алгебру) такая мера может быть продолжена неоднозначно (укажите хотя бы два различных продолжения).


(рисунок 18) https://djvu.online/jpg/V/d/d/VddXQrahV6cp3/276.webp

Понятно, что одно из продолжений - это стандартная мера, где прямоугольник, являющийся пересечением двух полос имеет меру равную своей площади.
А как найти пример другого продолжения? Надо как-то доопределить меры 9 прямоугольников, возникающих при пересечении двух полос, чтобы выполнялись аксиомы меры, но мера была отлична от стандартной? А как это сделать?

 
 
 
 Re: Колмогоров, Фомин, гл.5, параграф 3, пункт 2, доп.замечание1
Сообщение30.01.2023, 22:19 
Аватара пользователя
Попробуйте найти какую-нибудь неотрицательную функцию $f(x, y)$ такую что $\int_0^1 f(x, y)\, dx = \int_0^1 f(x, y)\, dy = 1$ (т.е. интеграл по любому горизонтальному и вертикальному отрезку равен $1$). Объявите мерой множества интеграл от этой функции по этому множеству.

 
 
 
 Re: Колмогоров, Фомин, гл.5, параграф 3, пункт 2, доп.замечание1
Сообщение30.01.2023, 22:30 
mihaild в сообщении #1579548 писал(а):
Попробуйте найти какую-нибудь неотрицательную функцию $f(x, y)$ такую что $\int_0^1 f(x, y)\, dx = \int_0^1 f(x, y)\, dy = 1$ (т.е. интеграл по любому горизонтальному и вертикальному отрезку равен $1$). Объявите мерой множества интеграл от этой функции по этому множеству.


Можно взять например $f(x,y)=1+\frac{1}{100}(2x-1)(2y-1)$. В итоге получается малое "возмущение" исходной меры... Спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group