2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вероятность. Выборка из корзины с возвращением.
Сообщение29.01.2023, 16:00 


18/05/15
704
Такая задача. В корзине $M$ шаров, $M_1$ из которых белые, остальные черные. Рассматривается выбор объема $n$ с возвращением. $A_k$ - событие, состоящее в том, что среди выбранных шаров $k$ белых; $B_j$ событие, состоящее в том, что шар, извлеченный на $j$-м шаге, окажется белым. Доказать, что $P(B_j|A_k) = k/n$.

Попытка. $$P(B_j|A_k)=P(A_k|B_j)P(B_j)/P(A_k).$$ То есть нужно найти вероятности $P(A_k|B_j), P(B_j), P(A_k)$. Сначала $P(B_j)$. Поскольку шары возвращаются обратно в корзину, вероятность выбрать белый шар на $j$-м шаге равна вероятности выбрать белый шар из корзины, т.е. $$P(B_j)=M_1/M.$$ Чтобы получить вероятность $P(A_k)$, рассуждаю следующим образом. Количество всех способов, которыми можно выбрать $n$ шаров из $M$ известно и равно $C_{M+n-1}^n$ (неупорядоченная выборка с возвращением). Аналогично, количество способов, которыми можно выбрать $k$ белых шаров из $M_1$ есть $C_{M_1+k-1}^k$; количество способов выбрать $n-k$ черных шаров из $M-M_1$ равно $C_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}$. Поэтому $$P(A_k)=\frac{C_{M_1+k-1}^kC_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}}{C_{M+n-1}^n}$$ Вероятность же $P(A_k|B_j)$ есть вероятность выбрать из той же корзины $n-1$ шаров, среди которых $k-1$ имеют белый цвет, т.е. $$P(A_k|B_j)=\frac{C_{M_1+k-2}^{k-1}C_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}}{C_{M+n-2}^{n-1}}.$$ И где-то здесь есть ошибка, которую я не вижу(

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность. Выборка из корзины с возвращением.
Сообщение29.01.2023, 17:20 


22/11/22
462
Цитата:
Поскольку шары возвращаются обратно в корзину, вероятность выбрать белый шар на $j$-м шаге равна вероятности выбрать белый шар из корзины, т.е. $P(B_j)=M_1/M.$

И примените это же рассуждение к вероятности, которую нужно найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность. Выборка из корзины с возвращением.
Сообщение29.01.2023, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6956
Я извиняюсь, но ничего не понял. А в чём вообще задача заключается? Рассмотрим множество выбранных шаров. Их всего $n$ . Известно, что среди них $k$ белых. Какая вероятность, что на каком-то шаге был вытянут белый шар? Ответ очевиден: $p = k\slash n$ . И что тут доказывать? Может я не понимаю всю сложность проблемы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность. Выборка из корзины с возвращением.
Сообщение29.01.2023, 18:23 


18/05/15
704
мат-ламер в сообщении #1579330 писал(а):
Я извиняюсь, но ничего не понял. А в чём вообще задача заключается?

В том, чтобы посчитать по формуле Байеса. Поэтому и спросил, где ошибка в рассуждениях. Но согласен, надо было это написать, сорри.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность. Выборка из корзины с возвращением.
Сообщение29.01.2023, 18:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6956
ihq.pl в сообщении #1579332 писал(а):
В том, чтобы посчитать по формуле Байеса.

Ну, если перед задачей имеется предисловие с требованием использовать именно "формулу Байеса", тогда да. Однако идейная сущность формулы Байеса состоит в том, что мы урезаем исходное вероятностное пространство в соответствии с той дополнительной информацией, которая нам известна. В своём предыдущем посту я это урезание оформил не формулой, а словами. То есть у нас есть не корзина с шарами, а лишь множество выбранных шаров.

Извиняюсь, что влез в обсуждение. Однако, думаю, что на любую задачу полезно посмотреть с разных сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность. Выборка из корзины с возвращением.
Сообщение29.01.2023, 18:56 


18/05/15
704
мат-ламер в сообщении #1579334 писал(а):
Ну, если перед задачей имеется предисловие с требованием использовать именно "формулу Байеса", тогда да.

Да, есть такое требование. А так то, да, $P(B_j|A_k)$ есть вероятность того, что в случайной последовательности из $n$ шаров, в которой $k$ белых, на $j$-м месте окажется белый шар.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность. Выборка из корзины с возвращением.
Сообщение29.01.2023, 20:04 


18/05/15
704
Всё-таки спрошу :? Где-то здесь ошибка:
ihq.pl в сообщении #1579301 писал(а):
Чтобы получить вероятность $P(A_k)$, рассуждаю следующим образом. Количество всех способов, которыми можно выбрать $n$ шаров из $M$ равно $C_{M+n-1}^n$ (неупорядоченная выборка с возвращением). Аналогично, количество способов, которыми можно выбрать $k$ белых шаров из $M_1$ есть $C_{M_1+k-1}^k$; количество способов выбрать $n-k$ черных шаров из $M-M_1$ равно $C_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}$. Поэтому $$P(A_k)=\frac{C_{M_1+k-1}^kC_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}}{C_{M+n-1}^n}$$

Но где?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность. Выборка из корзины с возвращением.
Сообщение30.01.2023, 21:57 


22/11/22
462
ihq.pl в сообщении #1579353 писал(а):
Чтобы получить вероятность $P(A_k)$, рассуждаю следующим образом. Количество всех способов, которыми можно выбрать $n$ шаров из $M$ равно $C_{M+n-1}^n$ (неупорядоченная выборка с возвращением). Аналогично, количество способов, которыми можно выбрать $k$ белых шаров из $M_1$ есть $C_{M_1+k-1}^k$; количество способов выбрать $n-k$ черных шаров из $M-M_1$ равно $C_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}$.

Видимо, вы при этом нумеруете все шары от 1 до $M$ и считаете, сколькими способами можно достать $n$ шаров без учета порядка и с возвращением. В частности, при $M=3$, $n=2$ сочетаний с повторениями будет:
$$(1,1), (1,2), (1,3), (2,2),(2,3),(3,3)$$ -- 6 штук, причем нетрудно заметить, что они не равновозможны. Итого: так, как вы строите схему, классическая вероятность не сработает. Почему вам захотелось вспомнить именно это число сочетаний, трудно сказать. Видимо, из-за названия. Если уж считать с помощью условной вероятности, как вам этого захотелось (велели), ясно, что это в чистом виде схема Бернулли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность. Выборка из корзины с возвращением.
Сообщение31.01.2023, 07:36 


18/05/15
704
Combat Zone в сообщении #1579544 писал(а):
етрудно заметить, что они не равновозможны

Ах вот оно что... ну конечно же! Спасибо)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group