Вероятность. Выборка из корзины с возвращением.

[ihq.pl]

Такая задача. В корзине $M$ шаров, $M_1$ из которых белые, остальные черные. Рассматривается выбор объема $n$ с возвращением. $A_k$ - событие, состоящее в том, что среди выбранных шаров $k$ белых; $B_j$ событие, состоящее в том, что шар, извлеченный на $j$-м шаге, окажется белым. Доказать, что $P(B_j|A_k) = k/n$.

Попытка.

$$P(B_j|A_k)=P(A_k|B_j)P(B_j)/P(A_k).$$

То есть нужно найти вероятности $P(A_k|B_j), P(B_j), P(A_k)$. Сначала $P(B_j)$. Поскольку шары возвращаются обратно в корзину, вероятность выбрать белый шар на $j$-м шаге равна вероятности выбрать белый шар из корзины, т.е.

$$P(B_j)=M_1/M.$$

Чтобы получить вероятность $P(A_k)$, рассуждаю следующим образом. Количество всех способов, которыми можно выбрать $n$ шаров из $M$ известно и равно $C_{M+n-1}^n$ (неупорядоченная выборка с возвращением). Аналогично, количество способов, которыми можно выбрать $k$ белых шаров из $M_1$ есть $C_{M_1+k-1}^k$; количество способов выбрать $n-k$ черных шаров из $M-M_1$ равно $C_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}$. Поэтому

$$P(A_k)=\frac{C_{M_1+k-1}^kC_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}}{C_{M+n-1}^n}$$

Вероятность же $P(A_k|B_j)$ есть вероятность выбрать из той же корзины $n-1$ шаров, среди которых $k-1$ имеют белый цвет, т.е.

$$P(A_k|B_j)=\frac{C_{M_1+k-2}^{k-1}C_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}}{C_{M+n-2}^{n-1}}.$$

И где-то здесь есть ошибка, которую я не вижу(

[Combat Zone]

Цитата:

Поскольку шары возвращаются обратно в корзину, вероятность выбрать белый шар на $j$-м шаге равна вероятности выбрать белый шар из корзины, т.е. $P(B_j)=M_1/M.$

И примените это же рассуждение к вероятности, которую нужно найти.

[мат-ламер]

Я извиняюсь, но ничего не понял. А в чём вообще задача заключается? Рассмотрим множество выбранных шаров. Их всего $n$ . Известно, что среди них $k$ белых. Какая вероятность, что на каком-то шаге был вытянут белый шар? Ответ очевиден: $p = k\slash n$ . И что тут доказывать? Может я не понимаю всю сложность проблемы?

[ihq.pl]

мат-ламер в сообщении #1579330 писал(а):

Я извиняюсь, но ничего не понял. А в чём вообще задача заключается?

В том, чтобы посчитать по формуле Байеса. Поэтому и спросил, где ошибка в рассуждениях. Но согласен, надо было это написать, сорри.

[мат-ламер]

ihq.pl в сообщении #1579332 писал(а):

В том, чтобы посчитать по формуле Байеса.

Ну, если перед задачей имеется предисловие с требованием использовать именно "формулу Байеса", тогда да. Однако идейная сущность формулы Байеса состоит в том, что мы урезаем исходное вероятностное пространство в соответствии с той дополнительной информацией, которая нам известна. В своём предыдущем посту я это урезание оформил не формулой, а словами. То есть у нас есть не корзина с шарами, а лишь множество выбранных шаров.

Извиняюсь, что влез в обсуждение. Однако, думаю, что на любую задачу полезно посмотреть с разных сторон.

[ihq.pl]

мат-ламер в сообщении #1579334 писал(а):

Ну, если перед задачей имеется предисловие с требованием использовать именно "формулу Байеса", тогда да.

Да, есть такое требование. А так то, да, $P(B_j|A_k)$ есть вероятность того, что в случайной последовательности из $n$ шаров, в которой $k$ белых, на $j$-м месте окажется белый шар.

[ihq.pl]

Всё-таки спрошу Где-то здесь ошибка:

ihq.pl в сообщении #1579301 писал(а):

Чтобы получить вероятность $P(A_k)$, рассуждаю следующим образом. Количество всех способов, которыми можно выбрать $n$ шаров из $M$ равно $C_{M+n-1}^n$ (неупорядоченная выборка с возвращением). Аналогично, количество способов, которыми можно выбрать $k$ белых шаров из $M_1$ есть $C_{M_1+k-1}^k$; количество способов выбрать $n-k$ черных шаров из $M-M_1$ равно $C_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}$. Поэтому

$$P(A_k)=\frac{C_{M_1+k-1}^kC_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}}{C_{M+n-1}^n}$$

Но где?

[Combat Zone]

ihq.pl в сообщении #1579353 писал(а):

Чтобы получить вероятность $P(A_k)$, рассуждаю следующим образом. Количество всех способов, которыми можно выбрать $n$ шаров из $M$ равно $C_{M+n-1}^n$ (неупорядоченная выборка с возвращением). Аналогично, количество способов, которыми можно выбрать $k$ белых шаров из $M_1$ есть $C_{M_1+k-1}^k$; количество способов выбрать $n-k$ черных шаров из $M-M_1$ равно $C_{M-M_1+n-k-1}^{n-k}$.

Видимо, вы при этом нумеруете все шары от 1 до $M$ и считаете, сколькими способами можно достать $n$ шаров без учета порядка и с возвращением. В частности, при $M=3$, $n=2$ сочетаний с повторениями будет:

$$(1,1), (1,2), (1,3), (2,2),(2,3),(3,3)$$

-- 6 штук, причем нетрудно заметить, что они не равновозможны. Итого: так, как вы строите схему, классическая вероятность не сработает. Почему вам захотелось вспомнить именно это число сочетаний, трудно сказать. Видимо, из-за названия. Если уж считать с помощью условной вероятности, как вам этого захотелось (велели), ясно, что это в чистом виде схема Бернулли.

[ihq.pl]

Combat Zone в сообщении #1579544 писал(а):

етрудно заметить, что они не равновозможны

Ах вот оно что... ну конечно же! Спасибо)