2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 18:56 


21/04/22
339
Найдите все степени тройки, запись которых в двоичной системе счисления содержит ровно три единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14477
Одну увидел бесспорно: 81. Мы все со школы помним, что 64+16=80 :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 19:49 
Аватара пользователя


11/12/16
13467
уездный город Н
Решение единственное.
Задача сводится к уравнению Каталана.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 21:03 


21/04/22
339
Да, единственное решение:
$$3^4 = 2^6 + 2^4 + 1$$

EUgeneUS в сообщении #1579115 писал(а):
Задача сводится к уравнению Каталана

Как?

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 21:33 
Аватара пользователя


11/12/16
13467
уездный город Н
mathematician123 в сообщении #1579118 писал(а):
Как?


Одна степень двойки д.б. нулем, чтобы получилось нечётное число.
1. Пусть другая степень двойки равна единице, а третья неизвестна.
Тогда остаток по модулю $4$ равен трем, степень тройки должна быть нечётной.
Запишем: $3 \cdot 3^{2a} = 2^b +3$, что невозможно, так как степень двойки не может делиться на тройку.

2. Пусть обе степени двойки неизвестны и больше единицы.
Тогда остаток по модулю $4$ равен единице, степень тройки должна быть чётной.
Запишем:
$3^{2a} = 2^b + 2^c + 1$
Пусть $b > c$ для определённости
$(3^a +1)(3^a -1) = (2^c)(2^{b-c}+1)$

Слева произведение двух чисел различающихся на два. Значит и правую часть можно представить произведением двух чисел, различающихся на два.
Это может быть только в таком случае:
$(3^a +1)(3^a -1) = (2^{c-1})(2^{b-c+1}+2)$
при этом степени двоек должны быть равны.
Приравниваем меньшие множители:
$3^a -1 = 2^{c-1}$
Получили уравнение Каталана: $3^a - 2^{c-1} = 1$
Откуда единственное решение:
$a=2$, $c=4$, $b=6$

-- 27.01.2023, 21:38 --

UPD: строго говоря, это не совсем уравнение Каталана, конечно. Так как основания степеней зафиксированы в $3$ и $2$.

-- 27.01.2023, 21:47 --

UPD2: для полноты, конечно, можно не забыть и рассмотреть случай:
$(3^a +1)(3^a -1) = 2 (2^{b-1}+2^{c-1})$
Но он тривиальный.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 22:15 


21/04/22
339
EUgeneUS в сообщении #1579119 писал(а):
Слева произведение двух чисел различающихся на два. Значит и правую часть можно представить произведением двух чисел, различающихся на два.
Это может быть только в таком случае:
$(3^a +1)(3^a -1) = (2^{c-1})(2^{b-c+1}+2)$
при этом степени двоек должны быть равны.
Приравниваем меньшие множители:
$3^a -1 = 2^{c-1}$

Вы хотите сказать, что $2^{c-1}$ и $2^{b-c+1}+2$ отличаются на 2? Но откуда это следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 23:11 
Заслуженный участник


04/05/09
4585
EUgeneUS в сообщении #1579119 писал(а):
Значит и правую часть можно представить произведением двух чисел, различающихся на два.
Это может быть только в таком случае:
$(3^a +1)(3^a -1) = (2^{c-1})(2^{b-c+1}+2)$
при этом степени двоек должны быть равны.
Не только:
$2^4(2^5+1) = 2^4\cdot 33=(2^3\cdot 3)(2\cdot 11)=24\cdot 22$

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 10:40 
Аватара пользователя


11/12/16
13467
уездный город Н
Да, тут дырка.
Мне в ЛС написали, как её можно было бы закрыть.
Если найду более-менее альтернативный вариант её закрытия - отпишусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 12:09 


26/08/11
2082
$0<a<b, \;\; 1+2^a+2^b=3^n$

Все степени должны быть четными (влево по модулю 3, потом вправо по модулю 4)

$1+2^a+2^{2k}=u^2$

1.) Если $a=k+1$, влево имеем квадрат $(1+2^k)^2$

2.) Если $a<k+1$, то $(2^k)^2<1+2^a+2^{2k}<(2^k+1)^2$

3.) Если $a>k+1$

$(u-1)(u+1)=2^a(2^{2k-a}+1)$

Один из сомножителей влево должен делится на $2^{a-1}$, что делает данное прозведение влево больше выражения вправо.

И осталось решить уравнене $1+2^k=3^n$, коротое легко решается с разностью квадратов при $k>1$. Решения $k=1,n=1$ и $k=3,n=2$

Превое дает $a=b=2$, что противоречит условию $a<b$

-- 28.01.2023, 11:13 --

И да, я использовал переменную $n$ в разных смыслах, за что извиняюсь. В первоначальном виде $n=4$

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 14:06 


21/04/22
339
Можно попробовать пойти дальше и найти степени тройки, которые в двоичной системе счисления содержат 4 единицы. Верно ли, что это только $3^3$? Уравнение в этом случае принимает вид
$$ 3^n = 2^a + 2^b + 2^c + 1 $$
С помощью теоремы
maxal в сообщении #1559584 писал(а):
Mike Bennett in https://mathoverflow.net/q/69794 писал(а):
standard lower bounds for linear forms in $2$ logarithms show that
$$
\left| 2^k - 3^n \right| \geq \min \left\{ 2^k, 3^n \right\}^{0.9},
$$
say, with precisely $23$ exceptions (this is a result from de Weger's thesis; the largest exception is with $(k,n)=(84,53)$).

я могу разобрать случаи $c \in \{ 1, 2, 3\} $. Но уже случай $c = 4$ решить не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 16:00 
Заслуженный участник


20/08/14
11368
Россия, Москва

(Статистика для сравнения)

Для 5 единиц есть решение $3^7$.
Для 6 единиц есть решения $3^5, 3^6, 3^8$.
Для 7 единиц решений похоже нет (как минимум до $3^{100000}$).
Для 8 единиц есть решение $3^9$.
Для 9 единиц есть решение $3^{10}$.
Для 10 единиц есть решение $3^{12}$.
4 решения бывают начиная с 34 единиц, 5 решений начиная с 97 единиц, 6 решений начиная с 301 единицы, 7 решений начиная с 171 единицы, 8 решений начиная с 6950 единиц, 9 решений начиная с 70111 единиц.
Решений вероятно нет для 7,12,21,23,31,37,43,44,50,53,54,59,60,62,76,78,80,86,88,96,99 единиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 17:31 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5669
mathematician123 в сообщении #1579102 писал(а):
Найдите все степени тройки, запись которых в двоичной системе счисления содержит ровно три единицы.

Рассматривая уравнение $3^a = 2^b + 2^c + 1$, где $b>c>0$, по модулю 10880, заключаем, что $c\leq 6$. Таким обраом, получаем $6$ уравнений относительно $a,b$, соответствующих значениям $c=1,2,3,4,5,6$. Они решаются рассмотрением по модулям:
3, 8, 3, 2796160, 3 и 2720, соответственно. Находится лишь единственное решение $(a,b,c)=(4,6,4)$.
PS. Указанные модули не обязательно минимальные из возможных.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 22:55 


21/04/22
339
mathematician123 в сообщении #1579197 писал(а):
Уравнение в этом случае принимает вид
$$ 3^n = 2^a + 2^b + 2^c + 1 $$

Оказывается и здесь, несмотря на 4 переменные, можно применить сравнения. Пусть $c \ge 6$. Тогда уравнение не имеет решений по модулю $2^6 \cdot 5 \cdot 17$.

-- 28.01.2023, 23:21 --

А уравнение $$ 3^x = 2^a + 2^b + 2^c + 2^d + 1$$ при $d \ge 10$ не имеет решений по модулю $2^{10} \cdot 257 \cdot 17 \cdot 5$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group