Как?
Одна степень двойки д.б. нулем, чтобы получилось нечётное число.
1. Пусть другая степень двойки равна единице, а третья неизвестна.
Тогда остаток по модулю
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
равен трем, степень тройки должна быть нечётной.
Запишем:
![$3 \cdot 3^{2a} = 2^b +3$ $3 \cdot 3^{2a} = 2^b +3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/3/cb3d72a2634f60913b59d65f085d40cd82.png)
, что невозможно, так как степень двойки не может делиться на тройку.
2. Пусть обе степени двойки неизвестны и больше единицы.
Тогда остаток по модулю
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
равен единице, степень тройки должна быть чётной.
Запишем:
![$3^{2a} = 2^b + 2^c + 1$ $3^{2a} = 2^b + 2^c + 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/c/aac15fa29a333af5eca936f2b11fedbd82.png)
Пусть
![$b > c$ $b > c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/1/7f15e21b5fbf911cbddb48998c78b7f382.png)
для определённости
![$(3^a +1)(3^a -1) = (2^c)(2^{b-c}+1)$ $(3^a +1)(3^a -1) = (2^c)(2^{b-c}+1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/5/955d3b59959562ca5dc207811008f7f982.png)
Слева произведение двух чисел различающихся на два. Значит и правую часть можно представить произведением двух чисел, различающихся на два.
Это может быть только в таком случае:
![$(3^a +1)(3^a -1) = (2^{c-1})(2^{b-c+1}+2)$ $(3^a +1)(3^a -1) = (2^{c-1})(2^{b-c+1}+2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/f/11f90524b52d3ec695efc16ffc3c45a782.png)
при этом степени двоек должны быть равны.
Приравниваем меньшие множители:
![$3^a -1 = 2^{c-1}$ $3^a -1 = 2^{c-1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/b/31b4541bea80cb67afa853341f0899be82.png)
Получили уравнение Каталана:
![$3^a - 2^{c-1} = 1$ $3^a - 2^{c-1} = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/d/efdb3228694466001d4d85df00b8b87b82.png)
Откуда единственное решение:
![$a=2$ $a=2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/9/8d909115002fdcb6caae883344130f8882.png)
,
![$c=4$ $c=4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/c/20c4d7ccadfd9958f72248d9f57ccfd582.png)
,
-- 27.01.2023, 21:38 --UPD: строго говоря, это не совсем уравнение Каталана, конечно. Так как основания степеней зафиксированы в
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
и
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
.
-- 27.01.2023, 21:47 --UPD2: для полноты, конечно, можно не забыть и рассмотреть случай:
![$(3^a +1)(3^a -1) = 2 (2^{b-1}+2^{c-1})$ $(3^a +1)(3^a -1) = 2 (2^{b-1}+2^{c-1})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/8/3b85d70060356ec00f04d18b9809ecc682.png)
Но он тривиальный.