2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 18:56 


21/04/22
272
Найдите все степени тройки, запись которых в двоичной системе счисления содержит ровно три единицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14210
Одну увидел бесспорно: 81. Мы все со школы помним, что 64+16=80 :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 19:49 
Аватара пользователя


11/12/16
11914
уездный город Н
Решение единственное.
Задача сводится к уравнению Каталана.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 21:03 


21/04/22
272
Да, единственное решение:
$$3^4 = 2^6 + 2^4 + 1$$

EUgeneUS в сообщении #1579115 писал(а):
Задача сводится к уравнению Каталана

Как?

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 21:33 
Аватара пользователя


11/12/16
11914
уездный город Н
mathematician123 в сообщении #1579118 писал(а):
Как?


Одна степень двойки д.б. нулем, чтобы получилось нечётное число.
1. Пусть другая степень двойки равна единице, а третья неизвестна.
Тогда остаток по модулю $4$ равен трем, степень тройки должна быть нечётной.
Запишем: $3 \cdot 3^{2a} = 2^b +3$, что невозможно, так как степень двойки не может делиться на тройку.

2. Пусть обе степени двойки неизвестны и больше единицы.
Тогда остаток по модулю $4$ равен единице, степень тройки должна быть чётной.
Запишем:
$3^{2a} = 2^b + 2^c + 1$
Пусть $b > c$ для определённости
$(3^a +1)(3^a -1) = (2^c)(2^{b-c}+1)$

Слева произведение двух чисел различающихся на два. Значит и правую часть можно представить произведением двух чисел, различающихся на два.
Это может быть только в таком случае:
$(3^a +1)(3^a -1) = (2^{c-1})(2^{b-c+1}+2)$
при этом степени двоек должны быть равны.
Приравниваем меньшие множители:
$3^a -1 = 2^{c-1}$
Получили уравнение Каталана: $3^a - 2^{c-1} = 1$
Откуда единственное решение:
$a=2$, $c=4$, $b=6$

-- 27.01.2023, 21:38 --

UPD: строго говоря, это не совсем уравнение Каталана, конечно. Так как основания степеней зафиксированы в $3$ и $2$.

-- 27.01.2023, 21:47 --

UPD2: для полноты, конечно, можно не забыть и рассмотреть случай:
$(3^a +1)(3^a -1) = 2 (2^{b-1}+2^{c-1})$
Но он тривиальный.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 22:15 


21/04/22
272
EUgeneUS в сообщении #1579119 писал(а):
Слева произведение двух чисел различающихся на два. Значит и правую часть можно представить произведением двух чисел, различающихся на два.
Это может быть только в таком случае:
$(3^a +1)(3^a -1) = (2^{c-1})(2^{b-c+1}+2)$
при этом степени двоек должны быть равны.
Приравниваем меньшие множители:
$3^a -1 = 2^{c-1}$

Вы хотите сказать, что $2^{c-1}$ и $2^{b-c+1}+2$ отличаются на 2? Но откуда это следует?

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение27.01.2023, 23:11 
Заслуженный участник


04/05/09
4563
EUgeneUS в сообщении #1579119 писал(а):
Значит и правую часть можно представить произведением двух чисел, различающихся на два.
Это может быть только в таком случае:
$(3^a +1)(3^a -1) = (2^{c-1})(2^{b-c+1}+2)$
при этом степени двоек должны быть равны.
Не только:
$2^4(2^5+1) = 2^4\cdot 33=(2^3\cdot 3)(2\cdot 11)=24\cdot 22$

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 10:40 
Аватара пользователя


11/12/16
11914
уездный город Н
Да, тут дырка.
Мне в ЛС написали, как её можно было бы закрыть.
Если найду более-менее альтернативный вариант её закрытия - отпишусь.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 12:09 


26/08/11
2023
$0<a<b, \;\; 1+2^a+2^b=3^n$

Все степени должны быть четными (влево по модулю 3, потом вправо по модулю 4)

$1+2^a+2^{2k}=u^2$

1.) Если $a=k+1$, влево имеем квадрат $(1+2^k)^2$

2.) Если $a<k+1$, то $(2^k)^2<1+2^a+2^{2k}<(2^k+1)^2$

3.) Если $a>k+1$

$(u-1)(u+1)=2^a(2^{2k-a}+1)$

Один из сомножителей влево должен делится на $2^{a-1}$, что делает данное прозведение влево больше выражения вправо.

И осталось решить уравнене $1+2^k=3^n$, коротое легко решается с разностью квадратов при $k>1$. Решения $k=1,n=1$ и $k=3,n=2$

Превое дает $a=b=2$, что противоречит условию $a<b$

-- 28.01.2023, 11:13 --

И да, я использовал переменную $n$ в разных смыслах, за что извиняюсь. В первоначальном виде $n=4$

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 14:06 


21/04/22
272
Можно попробовать пойти дальше и найти степени тройки, которые в двоичной системе счисления содержат 4 единицы. Верно ли, что это только $3^3$? Уравнение в этом случае принимает вид
$$ 3^n = 2^a + 2^b + 2^c + 1 $$
С помощью теоремы
maxal в сообщении #1559584 писал(а):
Mike Bennett in https://mathoverflow.net/q/69794 писал(а):
standard lower bounds for linear forms in $2$ logarithms show that
$$
\left| 2^k - 3^n \right| \geq \min \left\{ 2^k, 3^n \right\}^{0.9},
$$
say, with precisely $23$ exceptions (this is a result from de Weger's thesis; the largest exception is with $(k,n)=(84,53)$).

я могу разобрать случаи $c \in \{ 1, 2, 3\} $. Но уже случай $c = 4$ решить не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 16:00 
Заслуженный участник


20/08/14
10236
Россия, Москва

(Статистика для сравнения)

Для 5 единиц есть решение $3^7$.
Для 6 единиц есть решения $3^5, 3^6, 3^8$.
Для 7 единиц решений похоже нет (как минимум до $3^{100000}$).
Для 8 единиц есть решение $3^9$.
Для 9 единиц есть решение $3^{10}$.
Для 10 единиц есть решение $3^{12}$.
4 решения бывают начиная с 34 единиц, 5 решений начиная с 97 единиц, 6 решений начиная с 301 единицы, 7 решений начиная с 171 единицы, 8 решений начиная с 6950 единиц, 9 решений начиная с 70111 единиц.
Решений вероятно нет для 7,12,21,23,31,37,43,44,50,53,54,59,60,62,76,78,80,86,88,96,99 единиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 17:31 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5613
mathematician123 в сообщении #1579102 писал(а):
Найдите все степени тройки, запись которых в двоичной системе счисления содержит ровно три единицы.

Рассматривая уравнение $3^a = 2^b + 2^c + 1$, где $b>c>0$, по модулю 10880, заключаем, что $c\leq 6$. Таким обраом, получаем $6$ уравнений относительно $a,b$, соответствующих значениям $c=1,2,3,4,5,6$. Они решаются рассмотрением по модулям:
3, 8, 3, 2796160, 3 и 2720, соответственно. Находится лишь единственное решение $(a,b,c)=(4,6,4)$.
PS. Указанные модули не обязательно минимальные из возможных.

 Профиль  
                  
 
 Re: степень тройки в двоичной системе счисления
Сообщение28.01.2023, 22:55 


21/04/22
272
mathematician123 в сообщении #1579197 писал(а):
Уравнение в этом случае принимает вид
$$ 3^n = 2^a + 2^b + 2^c + 1 $$

Оказывается и здесь, несмотря на 4 переменные, можно применить сравнения. Пусть $c \ge 6$. Тогда уравнение не имеет решений по модулю $2^6 \cdot 5 \cdot 17$.

-- 28.01.2023, 23:21 --

А уравнение $$ 3^x = 2^a + 2^b + 2^c + 2^d + 1$$ при $d \ge 10$ не имеет решений по модулю $2^{10} \cdot 257 \cdot 17 \cdot 5$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: wrest


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group