Характеристические функции

[random]

Вопрос: если

$$f(t)$$

- характеристическая функция некоторой случайной величины. Будет ли

$$f^n(t)$$

характеристической функцией ? Подскажите идею док-во.

[ewert]

не будет -- хотя бы потому, что $f(0)=1$ всегда, а для производных так может оказаться разве что случайно (ибо производные в нуле -- это начальные моменты)

Более конкретно. Характеристической функцией может оказаться только производная порядка $4k$. Фактически она будет характеристической тогда и только тогда, когда начальный момент порядка $4k$ для исходной величины равен единице.

[Henrylee]

А при чем туту производные. собственно? Речь идет о $n$-ой степени функции. Естественно, она будет характеристической. Для доказательства можно воспользоваться, например, теоремой Бохнера. Ну или просто показать, что $f^n(t)$ - х.ф. для суммы $n$ независимых i.d. с.в.

[ewert]

ну да, не привык к степеням просто. Степень -- банально характеристическая даже и не обязательно для суммы, а просто для $Y=nX$.

[Henrylee]

ewert писал(а):

ну да, не привык к степеням просто. Степень -- банально характеристическая даже и не обязательно для суммы, а просто для $Y=nX$.

Э нет! Тут х.ф. совсем другая.

[random]

ewert, извините, не уточнил. Действительно,

$$f^n(t)$$

- это функция

$$f(t)$$

в степени

$$n$$

, где

$$n\in N$$

.

Henrylee писал(а):

Ну или просто показать, что $f^n(t)$ - х.ф. для суммы $n$ независимых i.d. с.в.

Henrylee, правильно ли я Вас понял? Пусть есть случайная величина

$$\xi$$

и ее характеристическая функция

$$f_\xi(t)$$

. Рассмотрим

$$n$$

случайных величин:

$$\xi_i (x) = x, i=1,n$$

и случайную величину

$$\zeta (x)=\sum_{i=1}^n \xi_i(x)$$

. И необходимо показать, что

$$f_\zeta(t) = f_\xi^n(t)$$

. Но показать это будет проблематично, поскольку случайные величины

$$\xi_i$$

не являются независимыми.

[Henrylee]

В Вашем сообщении есть два места, которые наводят меня на мысли, что часть задачи Вы скрыли в своем первом посте:

random писал(а):

Рассмотрим

$$n$$

случайных величин:

$$\xi_i (x) = x, i=1,n$$

- это в Вашем случае так? У Вас конкретно вероятностное пространство $\mathbb{R}$? А $\xi$ тождественная функция? А если все же Вы про задачу из первого сообщения, то такие с.в. брать бессмысленно, ибо они зависимы (как Вы ниже и сказали), а их сумма как раз $n\xi$.

random писал(а):

и случайную величину

$$\zeta (x)=\sum_{i=1}^n \xi_i(x)$$

. И необходимо показать, что

$$f_\zeta(t) = f_\xi^n(t)$$

. Но показать это будет проблематично, поскольку случайные величины

$$\xi_i$$

не являются независимыми.

(выделение мое)
Откуда взялось условие зависимости? В первом сообщении вообще не сказано про семейство с.в., а подразумевалась одна. Так почему же не посчитать их независимыми? Или Вы совсем о другой задаче говорите?

Добавлено спустя 4 минуты 4 секунды:

Может тут непонятка вышла?

Henrylee писал(а):

Ну или просто показать, что $f^n(t)$ - х.ф. для суммы $n$ независимых i.d. с.в.

i.d. - это не "одинаковые", а "одинаково распределенные".

[random]

Henrylee писал(а):

В Вашем сообщении есть два места, которые наводят меня на мысли, что часть задачи Вы скрыли в своем первом посте:

У Вас конкретно вероятностное пространство $\mathbb{R}$? А $\xi$ тождественная функция? А если все же Вы про задачу из первого сообщения, то такие с.в. брать бессмысленно, ибо они зависимы (как Вы ниже и сказали), а их сумма как раз $n\xi$.

Я рассматриваю одну и ту же задачу. В задаче случайная величина произвольна.
Условие: случайная величина

$$\xi$$

произвольная, а

$$f_\xi(t)$$

- это характеристическая функция случайной величины

$$\xi$$

. Доказать, что тогда и

$$f_\xi^n(t)$$

будет характеристической функцией некоторой случайной величины.

Henrylee писал(а):

Может тут непонятка вышла?Ну или просто показать, что $f^n(t)$ - х.ф. для суммы $n$ независимых i.d. с.в.
i.d. - это не "одинаковые", а "одинаково распределенные".

Более того, я решил (i.d. с.в. - тождественная случайная величина), что Вы предложили взять

$$n$$

штук тождественных случайных величин (

$$\xi_i(x)=x$$

) и с помощью их сконструировать случайную величину для которой характеристической функцией и будет функция

$$f_\xi^n(t)$$

.

Henrylee писал(а):

показать, что $f^n(t)$ - х.ф. для суммы $n$ независимых i.d. с.в.

Имеем произвольная случайная величина

$$\xi$$

и ее характеристическую функцию

$$f_\xi(t)$$

. Возьмем n независимых случайных величин

$$\xi_i=\xi$$

,

$$i=1,n$$

. Рассмотрим случайную величину

$$\zeta=\sum_{i=1}^n \xi_i=n\xi$$

и для нее посчитаем характеристическую функцию

$$f_\zeta(t)=M e^{it\zeta}=M e^{it n\xi}=^{1}(M e^{it\xi})^n=f_\xi^n(t)$$

. Равенство 1 имеет место поскольку

$$\xi_i$$

- независимы, а

$$g(x)=e^x$$

- борелевская функция и следовательно

$$g(\xi_i)$$

- независимые случайные величины.

[Henrylee]

Нет, нет, не так.

random писал(а):

Имеем произвольная случайная величина

$$\xi$$

и ее характеристическую функцию

$$f_\xi(t)$$

. Возьмем n независимых случайных величин

$$\xi_i=\xi$$

,

$$i=1,n$$

.

Они у Вас тут уже зависимы, потому как Вы берете равные с.в., судя по знаку равенства и этой записи:

random писал(а):

$$\sum_{i=1}^n \xi_i=n\xi$$

И дальнейшее

random писал(а):

$$f_\zeta(t)=M e^{it\zeta}=M e^{it n\xi}=^{1}(M e^{it\xi})^n=f_\xi^n(t)$$

.

неверно и есть просто подгонка под ответ.
Вам нужно рассматривать не равные, а одинаково распределенные независимые.
(над знаком равенства между $\xi_i$ и $\xi$ в этом случае ставят букву $d$ - равенство по распределению), т.е. берется не $n$ одинаковых с.в., а $n$ независимых копий одной и той же. И сумма их тогда конечно не равна $n\xi$.

[ewert]

Henrylee писал(а):

ewert писал(а):

ну да, не привык к степеням просто. Степень -- банально характеристическая даже и не обязательно для суммы, а просто для $Y=nX$.

Э нет! Тут х.ф. совсем другая.

да, пардон, чего-то меня совсем уж занесло

[Хорхе]

ewert писал(а):

Более конкретно. Характеристической функцией может оказаться только производная порядка $4k$. Фактически она будет характеристической тогда и только тогда, когда начальный момент порядка $4k$ для исходной величины равен единице.

На самом деле довольно любопытный факт вскрылся. Сначала были сомнения насчет "тогда", но по критерию Бохнера действительно просто выходит. Вообще, получается, что для неотрицательной $f$ $E[f(\xi)]=1$ тттк $E[f(\xi)e^{it\xi}]$ --- х.ф. Надо будет студентам дать, простая и хорошая задача на х.ф.