Отношение эквивалентности

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1577437 писал(а):

Объявляю матрицей скалярного произведения единичную... - могу? Если нет - то почему?

В общем случае, я думаю, нет, потому что каждому базису соответствует единственная матрица скалярного произведения -- если скалярное произведение инвариантно. Оно ведь инвариантно?

[Geen]

Vladimir Pliassov
А что такое "скалярное произведение"?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577433 писал(а):

при перемножении векторов в координатной форме через матрицу получается скалярное произведение этих векторов, которое инвариантно

По этой фразе понятно, что в

Vladimir Pliassov в сообщении #1577433 писал(а):

не знаю, как найти ту единственную, которая соответствует выбранному базису

вы считаете, что скалярное произведение уже задано, и надо найти его матрицу в каком-то базисе.
Но идея примера как раз в том, что на просто произвольном векторном пространстве скалярного произведения нет. Более того, можно взять произвольный базис, произвольную положительно определенную матрицу - и задать скалярное произведение так, что его матрицей в этом базисе будет наша матрица.
Именно поэтому фраза

Vladimir Pliassov в сообщении #1577306 писал(а):

то есть понять, что длины и углы есть

некорректна - в векторном пространстве по умолчанию именно что нет углов, чтобы они появились - нужна дополнительная структура, и её можно задать по-разному (аналогично тому что в $\mathbb R^{2n}$ по умолчанию нет умножения на комплексное число, и его можно задать по-разному).

[Vladimir Pliassov]

1.

Geen в сообщении #1577531 писал(а):

А что такое "скалярное произведение"?

mihaild в сообщении #1577543 писал(а):

в векторном пространстве по умолчанию именно что нет углов, чтобы они появились - нужна дополнительная структура, и её можно задать по-разному

То есть угол между векторами $t_1=-x^2+6x+8$ и $t_2=5x-18$ может быть не одним и тем же, если по-разному задать на $G$ скалярное произведение. А пока оно не задано, этого угла вообще нет.

И еще.

Моя ошибка была в том, что я думал, что какое бы скалярное произведение ни задать, при скалярном перемножении одних и тех же векторов получается одно и то же число. Но это не так: если задавать скалярное произведение по-разному, то (в общем случае) каждый раз это число будет другим.

Спасибо!

2.

mihaild в сообщении #1577543 писал(а):

Именно поэтому фраза

Vladimir Pliassov в сообщении #1577306 писал(а):

то есть понять, что длины и углы есть

некорректна - в векторном пространстве по умолчанию именно что нет углов

На пространство, в котором не определены длины и углы, можно смотреть как на пространство, в котором нет длин и углов, потому что все, что в нем происходит, происходит без участия длин и углов. То есть смотреть на него как на самостоятельное пространство.

Но на него можно смотреть не как на самостоятельное пространство, а как на обобщение пространства с определенными длинами и углами.

Что же касается пространства с определенными длинами и углами, то когда мы не знаем, как именно они определены (то есть, например, как именно на этом пространстве задано скалярное произведение), то это для нас все равно как если бы они не были определены. То есть нам дано условие: "Они есть, но могут быть определены по-разному". И это я имел в виду, когда говорил: "длины и углы есть".

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577571 писал(а):

То есть нам дано условие: "Они есть, но могут быть определены по-разному".

Нет, мы можем на одном и том же векторном пространстве задать пяток разных скалярных произведений (только обозначить их по разному), и нам за это ничего не будет.
А можем не задавать скалярное произведение, а задать только длины векторов (норму).

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1577573 писал(а):

А можем не задавать скалярное произведение, а задать только длины векторов (норму).

Да, кажется, у Гельфанда (хотя не уверен) сказано, что задать евклидово пространство (пространство с определенными длинами и углами) можно не только скалярным произведением, но и непосредственно задав длины векторов, но тогда система будет сложнее.

Geen в сообщении #1577573 писал(а):

Нет, мы можем на одном и том же векторном пространстве задать пяток разных скалярных произведений (только обозначить их по разному), и нам за это ничего не будет.

Должен признаться, что здесь я не понял, что Вы имеете в виду: я и говорю, что можно по-разному задать скалярное произведение.

И тут, с одной стороны, если мы не знаем, как оно задано, то для нас оно как будто и не задано. Однако, с другой стороны, если мы и не знаем, как оно задано, но знаем хотя бы, что оно как-то задано, это уже может нам помочь в наших размышлениях. Например, мне кажется, что понять размерность пространства легче, если исходить из того, что длины и углы есть, но могут быть определены по-разному, чем если исходить только из чего-то другого -- безотносительно к длинам и углам.

Тут еще такой момент, что, например, когда в виде иллюстрации какого-то общего принципа дается чертеж, то он дается с конкретными длинами и углами, потому что невозможно начертить чертеж с длинами и углами вообще, но мы, глядя на него, понимаем, что он иллюстрирует общий принцип.

(Я где-то читал, что при шизофрении больной не способен обобщать: если стол не желтый, как он привык, а зеленый, то он не понимает, что это тоже стол.)

Поэтому, по-моему, не только вполне допустимо, но бывает и очень полезно, общие принципы рассматривать на конкретных примерах (то есть в каком-то смысле уподобляться шизофренику). Так и я рассматривал векторное пространство вообще на примере векторного пространства с длинами и углами, но так, что эти длины и углы могут быть разными (и именно в этом смысле неопределенными), это мне помогало (да и сейчас помогает).

-- 17.01.2023, 16:42 --

Под словами " длины и углы могут быть разными " я имел в виду, что длина одного и того же вектора может быть разной и угол между одними и теми же векторами может быть разным (при разных заданиях, например, скалярного произведения).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577571 писал(а):

То есть нам дано условие: "Они есть, но могут быть определены по-разному".

В математике это называется "их нет". Так же как на произвольном множестве по умолчанию нет отношения эквивалентности.

Более точно, векторное пространств - это кортеж из поля, носителя и операций, формально $\langle F, V, \cdot: F \times V \to V, +: V \times V \to V\rangle$, причем выполнены известно какие свойства. А "векторное пространство со скалярным произведением" - это кортеж ("векторное пространство", "скалярное произведение на нём").

Есть разница между работой с произвольным векторным пространством, на котором задано скалярное произведение, и на котором не задано. Во втором случае мы можем сами его задать - сказать "рассмотрим какое-нибудь скалярное произведение" - но в этом случае нам придется доказывать, что полученные нами результаты не зависят от того, какое именно скалярное произведение мы взяли.

А если вы закопаетесь в недра теории множеств и абстрактной алгебры, то вас могут поджидать векторные пространства, на которых скалярное произведение ввести вообще невозможно, а так же пространства без базисов или с базисами разной мощности. Но это сильно дальше, и почти никому даже из математиков не нужно.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1577605 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1577571 писал(а):

То есть нам дано условие: "Они есть, но могут быть определены по-разному".

В математике это называется "их нет".

Понимаю, я ведь написал:

Vladimir Pliassov в сообщении #1577571 писал(а):

Что же касается пространства с определенными длинами и углами, то когда мы не знаем, как именно они определены (то есть, например, как именно на этом пространстве задано скалярное произведение), то это для нас все равно как если бы они не были определены.

Но я хочу сказать, что свойства пространства с неопределенными длинами и углами можно изучать на пространстве с определенными длинами и углами -- они там тоже есть (все). (А вот наоборот -- не получится, потому что не все то, что есть во втором, есть в первом.)

И, очевидно, не только я так считаю, потому что, например, у Гельфанда линейное пространство (с неопределенными длинами и углами) рассматривается на примере геометрического трехмерного пространства (в котором они определены):

(http://www.tka4.org/materials/lib/Artic ... elfand.pdf, стр. 8)

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577619 писал(а):

Но я хочу сказать, что свойства пространства с неопределенными длинами и углами можно изучать на пространстве с определенными длинами и углами -- они там тоже есть (все).

Это, безусловно, так, и вообще полезно иметь примеры, которые можно представить и "пощупать". Но ИМХО при этом стоит помнить, что это говоря об углах мы рассматриваем частный случай, а не рассматривая произвольное пространство - произвольно "забываем" часть информации, которая "на самом деле" есть.

Так же и с отношением эквивалентности: по умолчанию его нет, а не мы просто произвольно решаем его не учитывать.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1577627 писал(а):

а не рассматривая произвольное пространство - произвольно "забываем" часть информации, которая "на самом деле" есть.

Я, наверное, что-то не так понял, но, по-моему, мы именно, "рассматривая произвольное пространство (то есть пространство с длинами и углами), произвольно "забываем" часть информации, которая "на самом деле" есть (то есть информацию о том, что длины и углы есть)", то есть мы обобщаем пространство с длинами и углами, и в полученном обобщении их уже нет.

Боюсь, что скоро меня побьют.

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577635 писал(а):

Я, наверное, что-то не так понял, но, по-моему, мы именно, "рассматривая произвольное пространство (то есть пространство с длинами и углами), произвольно "забываем" часть информации, которая "на самом деле" есть (то есть информацию о том, что длины и углы есть)", то есть мы обобщаем пространство с длинами и углами, и в полученном обобщении их уже нет.

Один из способов избавиться от этой аберрации — поразмышлять о примере, который привёл Geen. На векторном пространстве можно ввести сразу два скалярных произведения и пользоваться ими одновременно (естественно, всюду оговаривая, где какое используется). Даже в моей практике такое встречалось (поляризация анизотропного диэлектрика, распространение света в анизотропной среде).

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577635 писал(а):

то есть мы обобщаем пространство с длинами и углами,

А, я, кажется, понял.
Обычно под фразой "обобщаем пространство с длинами и углами" понимается "посмотрели на пространство с длинами и углами, и дали определение, которому удовлетворяет оно, а так же еще что-то". Вы, видимо, думали про конкретное пространство.

Вот у нас есть конкретное пространство - пространство многочленов степени не выше $2$. Как складывать и умножать на вещественные числа эти многочлены - понятно. А вот как скалярно перемножать - непонятно, есть много разных способов. Например $\langle a + bx + cx^2, d + ex + fx^2\rangle = ad + 42\cdot be + cf$. Или $\langle p(x), q(x)\rangle = p(0)\cdot q(0) + p(1)\cdot q(1) + p(2) \cdot q(2)$.

И это еще просто двумерное пространство.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1577648 писал(а):

Обычно под фразой "обобщаем пространство с длинами и углами" понимается "посмотрели на пространство с длинами и углами, и дали определение, которому удовлетворяет оно, а так же еще что-то".

Да, это определение -- то общее, что относится к этому пространству и к тому "еще чему-то". Остается определить, что собой представляет это "что-то", об этом ниже.

svv в сообщении #1577642 писал(а):

Один из способов избавиться от этой аберрации — поразмышлять о примере, который привёл Geen. На векторном пространстве можно ввести сразу два скалярных произведения и пользоваться ими одновременно (естественно, всюду оговаривая, где какое используется). Даже в моей практике такое встречалось (поляризация анизотропного диэлектрика, распространение света в анизотропной среде).

Geen в сообщении #1577573 писал(а):

Нет, мы можем на одном и том же векторном пространстве задать пяток разных скалярных произведений (только обозначить их по разному), и нам за это ничего не будет.

Я только теперь понял, что речь идет об одновременном задании разных скалярных произведений, я думал, что они задаются по очереди. Это интересно.

Но почему аберрации? Я, видимо, плохо объясняю. Под обобщением объектов я понимаю то, в чем они пересекаются, то есть то, что в них есть общего.

Конкретно в случае понятий рассматриваемых пространств, пересечением этих понятий является одно из них (оно целиком входит в другое).

Что общего во всех линейных пространствах? Линейное пространство без длин и углов: оно содержится в любом линейном пространстве, то есть все, что есть в линейном пространстве без длин и углов, есть в любом линейном пространстве.

Правда, мне известны только два вида линейных пространств: с длинами и углами и без длин и углов, но этого достаточно для того, чтобы говорить об обобщении всех (известных мне) линейных пространств.

Обобщение здесь заключается в переходе от более частного пространства (то есть от пространства с длинами и углами) к более общему (то есть к пространству без длин и углов).

(К более частным пространствам можно отнести и пространство с одновременно заданными разными скалярными произведениями.)

Обобщение (если оно не тривиальное, вроде подмножества, равного всему множеству) это всегда обеднение, упрощение, но не всегда более простое легче понять, чем более сложное, например, мне было трудно понять пространство без длин и углов, потому что я живу в пространстве с длинами и углами.

(Хорошо бы как-то назвать то и другое пространство, чтобы не повторяться все время о длинах и углах).

То "что-то", о котором шла речь в начале поста, это пространство без длин и углов -- которое является обобщением пространства с длинами и углами, -- а определение, общее для обоих пространств -- это оно само (пространство без длин и углов).

[svv]

Но ведь в определении векторного пространства нет ничего про длины и углы. Почему это понятие должно получаться через обобщение чего-то другого с длинами и углами?

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1577688 писал(а):

Но ведь в определении векторного пространства нет ничего про длины и углы. Почему это понятие должно получаться через обобщение чего-то другого?

Если из евклидова пространства убрать все о длинах и углах, получится просто векторное пространство, то есть то, что есть общего у евклидова и просто векторного пространства, и таким образом совершится обобщение.

Но если Вы имеете в виду, что можно не идти от евклидова пространства к просто векторному, а сразу построить просто векторное пространство, то, конечно, это можно сделать, и тогда обобщения не будет.

(Хотя я уверен, что исторически человечество пришло к просто векторному пространству через работу над евклидовым пространством, то есть именно через обобщение евклидова пространства -- я имею в виду не то, что сначала изобрели скалярное произведение, а то, что евклидово пространство это естественное пространство, в котором мы живем).