Продолжаемость решений

[krum]

В одной солидной книжке по гидродинамике приведена без доказательства такая теорема
https://ibb.co/09d0xsv
Там ссылка на Хартмана, который, как я помню, бесконечномерных систем не рассматривает. У Демидовича нечто похожее доказывается из соображений компактности шара. Да и вообще странноватая формулировка.
Вообщем меня терзают смутные сомнения. Это вообще верно?

-- 16.01.2023, 11:28 --

Мне нравится такая теорема. Она, может, и слабее, но ее достаточно для тех же задач.

Пусть $D$ открытое множество в банаховом пространстве $X$
Функция $f:(a,b)\times D\to X$ непрерывна и локально липшицева по $x$, причем

$$\sup\{\|f(t,x)\|\,\mid (t,x)\in (a,b)\times D\}<\infty.$$

Тогда если решение $x(t)$ уравнения $\dot x=f(t,x)$ определено при $t\in (t_1,t_2)\subset(a,b),\quad t_2<b$ и непродолжаемо правее $t_2$ то существует предел $\lim_{t\to t_2-}x(t)$ и этот предел не принадлежит $D$.

[demolishka]

Да, мне тоже кажется странной формулировка. Причем там открытые множества? Для открытых неограниченных утверждение просто не верно.

Речь должна идти про ограниченные множества. В бесконечномерии для таких вещей обычно требуют липшицевость на ограниченных множествах. Тогда соответствующие интегральные операторы определены на подходящих функциях из $[0,h]$ при достаточно малом $h$ (зависящим от границы и начального данного). Отсюда, если решение остается ограниченным, его всегда можно продолжить на $h$.

Понять проблему можно примерно так. В любом случае поиск решения эквивалентен поиску неподвижной точки интегрального оператора. Для единственности решения достаточно локальной липшицевости, но вот для сжатия нужна липшицевость на ограниченных множествах. Если же сжатия нет, то нужны какие-либо свойства компактности или еще чего.

[Утундрий]

krum
Не хотите превратить такую теорему в конкретную? Правила форума оближ.

[krum]

demolishka в сообщении #1577492 писал(а):

В бесконечномерии для таких вещей обычно требуют липшицевость на ограниченных множествах.

они (и я тоже) под локадьной липшецевостью понимают вот что: для каждой точки $x$ существует шар малого радиуса с центром в этой точке в котором правая часть дифура липшицева и константа не зависит от $t$. Этого достаточно для локальной теоремы существования. .Давайте исходить дальше из этого.
Проблема остается, по-моему. Пусть даже множество $O$ в теореме ограничено. Мы же знаем, что в бесконечномерном шаре можно найти последовательность, котораяч не имеет предельных точек. А что если решение , определенное на $(t_1,t_2)$ содержит такую последовательность, скажем $x(t_k),\quad t_k\to t_2-$. Как такое решение продолжать будем, при том, что оно ограничено? Теорема, фактически утверждает, что таких решений нет. Может это и так, но я не понимаю, откуда этот нетривиальный факт мог бы следовать.
А с открытостью множества мне как раз все понятно, во второй теореме оно открыто. Но во второй теореме есть ограниченность правой части. Кстати во второй теореме предел конечен, забыл добавить

[krum]

Причем, правая часть дифура неограничена на последовательности $\{x(t_k)\}$, и помоему, такие предположения не противоречат ни локальной липшицевости с теоремой существования и единственности, ни ограниченности множества $O$... При том, что я согласен с Вами, если требовать липшецевость на ограниченных множествах, то ok