Отношение эквивалентности

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1577128 писал(а):

Никакой "природы" тут нет.

Я думаю, что природа все-таки есть (но надо уточнить, что понимается под природой -- об этом тремя строчками ниже): можно взять множество вообще, а можно взять конкретное множество, например, множество прямых на плоскости, множество натуральных чисел или множество непрерывных функций.

Это в некотором смысле то же самое как если мы возьмем три треугольника: деревянный, железный и пластмассовый. Каждый из них представляет собой воплощение "в презренной материи" одного и того же принципа треугольника.

Множество прямых на плоскости, множество натуральных чисел и множество непрерывных функций это не материальные, а математические объекты, тем не менее -- в некотором смысле -- все они представляют собой воплощение "в презренной материи" одного и того же принципа множества.

То есть под природой здесь (под "презренной материей") я понимаю конкретное воплощение общего принципа (частное проявление общего).

Также и отношение эквивалентности может быть отношением эквивалентности вообще, то есть подмножеством $R$ декартова квадрата $X\times X$ со свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а может быть конкретным отношением эквивалентности, например, отношением параллельности или отношением сравнения по модулю.

mihaild в сообщении #1577128 писал(а):

Примеры, которые вы процитировали - это разные способы задать отношение (которое окажется отношением эквивалентности). Например, для параллельности: у нас есть множество $M$ прямых, и есть отношение $\|$ на нём, причем $\langle a, b\rangle \in \|$ если $a$ параллельно $b$.
Это определение некоторого конкретного множества.

Попытаюсь это проиллюстрировать. При этом будет затронут вопрос: что было сначала -- курица или яйцо?

Пусть мы имеем несколько прямых палок (множество $A$). Прежде всего (хотя это сопряжено с философскими размышлениями) мы решаем, что каждая палка параллельна себе. Затем замечаем, что если палка $a$ параллельна палке $b$, то и палка $b$ параллельна палке $a$. После этого замечаем еще и то, что если палка $a$ параллельна палке $b$, а палка $b$ параллельна палке $c$, то палка $a$ параллельна палке $c$.

Обратите внимание, что пока еще не было речи ни о каком $R\subset A\times A$.

Потом нам приходит в голову записать все, что мы заметили об отношении наших палок (которое является отношением эквивалентности, поскольку оно рефлексивно, симметрично и транзитивно -- все это мы заметили, экспериментируя с палками!), в квадратную таблицу, и только тогда появляется множество $R\subset A\times A$, которое -- опять же как следствие эквивалентности отношения между нашими палками -- состоит из таких пар, что, проанализировав эту таблицу, мы решаем назвать его "отношением эквивалентности", то есть так же как отношение между палками. (Правда, отношением мы назвали его потому, что оно в самом деле является отношением между $A$ и $A$.)

Мне кажется, надо отметить, что множество палок $A$, которое нам было дано, наделено структурой параллельности своих элементов (во всяком случае, каждый элемент параллелен самому себе). И я думаю, что не только в случаях отношений эквивалентности, но и вообще всегда, когда есть отношение на множестве, множество наделено какой-то структурой, и в соответствии с этой структурой можно составить таблицу $R$.

Хотя, конечно, можно сначала составить таблицу $R$, и тогда множество $A$ будет наделено соответствующей структурой.

mihaild в сообщении #1577128 писал(а):

на одном и том же множестве могут задаваться разные отношение эквивалентности.

Возьмем множество $X$ всех прямых на плоскости $\alpha$. На нем можно задать, по крайней мере, два отношения эквивалентности:

1) отношение "лежать в плоскости $\alpha$", по этому отношению все элементы $X$ эквиваленты друг другу, при этом определен один-единственный класс эквивалентности, равный $X$;

2) отношение "быть параллельными между собой", по этому отношению множество $X$ разбивается на бесконечное множество классов эквивалентности.

[Утундрий]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577277 писал(а):

если мы возьмем три треугольника: деревянный, железный и пластмассовый. Каждый из них представляет собой воплощение "в презренной материи" одного и того же принципа треугольника.

А что является воплощением воображаемого треугольника с вершинами из перечисленных выше трёх?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577277 писал(а):

Также и отношение эквивалентности может быть отношением эквивалентности вообще, то есть подмножеством $R$ декартова квадрата $X\times X$ со свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а может быть конкретным отношением эквивалентности, например, отношением параллельности или отношением сравнения по модулю.

Это действительно важный вопрос, и у меня нет на него прямо хорошего объяснения - просто нужно читать математические рассуждения и привыкнуть к ним.
Я бы сказал, что почти вся математика - про общие рассуждения, в которые потом можно будет подставлять какие-то объекты. Т.е. если у нас когда-нибудь будет конкретное множество, и конкретное отношение на нём, то мы сможем, проверив рефлексивность, симметричность и транизивность, сказать, является ли это отношение отношением эквивалентности или нет. Но в общем-то любое отношение эквивалентности - это "конкретное отношение эквивалентности". Просто иногда мы рассуждаем про свойства, выполненные для вообще всех отношений эквивалентности - это, с одной стороны, не позволяет нам опираться ни на что, кроме аксиом, зато с другой стороны - полученные результаты будут применимы много где.

И это частый случай, просто в менее абстрактных разделах это менее заметно. Например, классическая теорема Ролля (если вы не не понимаете - скажите, попробую подобрать пример из известной вам области): если $f$ дифференцируема на $[a, b]$ и $f(a) = f(b)$, то существует $c \in (a, b)$ такая что $f'(c) = 0$. Тут $f$ - "конкретная, но произвольная" функция. Тут нет "функции вообще". Но доказав теорему, мы сможем потом применять её к любой функции.

Vladimir Pliassov в сообщении #1577277 писал(а):

Мне кажется, надо отметить, что множество палок $A$, которое нам было дано, наделено структурой параллельности своих элементов (во всяком случае, каждый элемент параллелен самому себе). И я думаю, что не только в случаях отношений эквивалентности, но и вообще всегда, когда есть отношение на множестве, множество наделено какой-то структурой, и в соответствии с этой структурой можно составить таблицу $R$.

Да, можно, используя какую-то имеющуяся структуру, составить отношение. В зависимости от того, какая была структура и как её использовали - может получиться отношение эквивалентности, а может не получиться. Но тут вопрос опять же в этой структуре.

[Vladimir Pliassov]

Утундрий в сообщении #1577284 писал(а):

А что является воплощением воображаемого треугольника с вершинами из перечисленных выше трёх

материалов?

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1577287 писал(а):

Например, классическая теорема Ролля (если вы не не понимаете - скажите, попробую подобрать пример из известной вам области)

Нет, я посмотрел, в общем понятно.

mihaild в сообщении #1577287 писал(а):

Я бы сказал, что почти вся математика - про общие рассуждения, в которые потом можно будет подставлять какие-то объекты. Т.е. если у нас когда-нибудь будет конкретное множество, и конкретное отношение на нём, то мы сможем, проверив рефлексивность, симметричность и транзитивность, сказать, является ли это отношение отношением эквивалентности или нет. Но в общем-то любое отношение эквивалентности - это "конкретное отношение эквивалентности". Просто иногда мы рассуждаем про свойства, выполненные для вообще всех отношений эквивалентности - это, с одной стороны, не позволяет нам опираться ни на что, кроме аксиом, зато с другой стороны - полученные результаты будут применимы много где.

Другой пример общих рассуждений это векторное пространство, в котором не определены длины векторов и углы между векторами, назову его условно неопределенным векторным пространством.

Сначала изучают именно его, и мне, например, было очень трудно понять пространство без длин и углов. По-моему, здесь лучше идти от частного к общему, то есть понять, что длины и углы есть, но есть в пространстве и что-то такое, что не зависит от длин и углов (например, число измерений), и поэтому его можно рассматривать так, как будто длин и углов в нем нет.

Хотя, конечно, на неопределенное векторное пространство можно смотреть не как на обобщение более конкретного пространства (то есть пространства с длинами и углами), а как на самостоятельное пространство, в котором нет длин и углов.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577306 писал(а):

По-моему, здесь лучше идти от частного к общему, то есть понять, что длины и углы есть, но есть в пространстве и что-то такое, что не зависит от длин и углов (например, число измерений), и поэтому его можно рассматривать так, как будто длин и углов в нем нет.

На это есть минимум две разных точки зрения:)
На мехмате, например, как раз проходят сначала аналитическую геометрию, а уже потом - линейную алгебру, т.е. как раз как вы предлагаете. Лично мне это скорее не нравилось, потому что многие очень общие конструкции было как раз сложнее понимать, когда рядом есть куча отвлекающих операций. Тут дело вкуса, и, естественно, начинать сразу с максимальной общности не стоит почти никогда.
Но предметом теории множеств по определению является именно уровень общности "произвольные множества, отношения и функции".

[svv]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577306 писал(а):

Сначала изучают именно его, и мне, например, было очень трудно понять пространство без длин и углов. По-моему, здесь лучше идти от частного к общему, то есть понять, что длины и углы есть, но есть в пространстве и что-то такое, что не зависит от длин и углов (например, число измерений), и поэтому его можно рассматривать так, как будто длин и углов в нем нет.

Множество всех многочленов степени не выше 2 с вещественными коэффициентами образует трёхмерное векторное пространство (с понятно как определёнными операциями сложения и умножения на скаляр). Какой угол между векторами $-x^2+6x+8$ и $5x-18$ ?

[ewert]

mihaild в сообщении #1577308 писал(а):

На мехмате, например, как раз проходят сначала аналитическую геометрию, а уже потом - линейную алгебру,

Да везде, видимо, ровно так и проходят -- это наиболее естественно. Другое дело, что обычно первый семестр -- это не только аналитическая геометрия, а "алгебра и геометрия" (включающая в себя как неотъемлемый элемент системы линейных уравнений, это как минимум). А вот тут уже никак не обойтись, во всяком случае, без понятий линейной комбинации и линейной независимости. Т.е. вынужденно приходится вторгаться в линейные пространства общего вида, пусть даже и не называя чёрта по имени.

[Vladimir Pliassov]

svv в сообщении #1577314 писал(а):

Множество всех многочленов степени не выше 2 с вещественными коэффициентами образует трёхмерное векторное пространство (с понятно как определёнными операциями сложения и умножения на скаляр). Какой угол между векторами $-x^2+6x+8$ и $5x-18$ ?

В пространстве $G$ всех многочленов степени не выше $2$ с вещественными коэффициентами возьмем базис $1, x, x^2$ и составим таблицу умножения базисных векторов, такую, чтобы получившаяся при этом матрица $A=(a_{ik})$ была симметричная и чтобы квадратичная форма

$$(t, t)=\sum \limits_{i, k=1}^3a_{ik}\xi_i \xi_k,$$

где $t\in G$, а $\xi_i$ -- координаты $t$ по базису $1, x, x^2$, была положительно определенной (с этим проблема, не знаю, как получить такую матрицу).

По базису $1, x, x^2$ вектор $t_1=-x^2+6x+8$ имеет координаты $(8, 6, -1)$, а вектор $t_2=5x-18$ -- координаты $(-18, 5, 0)$.

Умножим матрицу $A$ слева на вектор ${t_1}^T$ и справа на вектор $t_2$, получим скалярное произведение $(t_1, t_2)$ [можно перемножить их в обратном порядке, скалярное произведение коммутативно (симметрично)].

Угол $\varphi$ между векторами $t_1$ и $t_2$ равен

$$\arccos \frac {(t_1, t_2)}{\vert t_1\vert \vert t_2\vert}=\arccos \frac {(t_1, t_2)}{\sqrt {(t_1, t_1)} \sqrt {(t_2, t_2)}},$$

то есть

$$\cos \varphi=\frac {(t_1, t_2)}{\vert t_1\vert \vert t_2\vert}, \;\; 0\leqslant \varphi\leqslant \pi.$$

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577387 писал(а):

возьмем базис $1, x, x^2$

А почему мы должны брать именно такой базис?? Почему бы не взять какие-нибудь полиномы Чебышева/Лежандра/Эрмита/.....?

Vladimir Pliassov в сообщении #1577387 писал(а):

то есть

Так сколько именно? (а Вам дали вполне конкретные полиномы)

[svv]

(Geen)

Как приятно, когда тебя понимают.

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1577421 писал(а):

А почему мы должны брать именно такой базис?? Почему бы не взять какие-нибудь полиномы Чебышева/Лежандра/Эрмита/.....?

Да где же их взять? Я имею в виду, что я не знаю даже, как получить положительно определенную квадратичную форму, так куда же мне с этими полиномами?

А разве не все равно, какой базис взять? Я, по-моему, взял самый простой.

Geen в сообщении #1577421 писал(а):

Так сколько именно? (а Вам дали вполне конкретные полиномы)

Я думаю, что если бы я нашел матрицу $A$, то нашел бы и угол. Или нет?

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577427 писал(а):

Я думаю, что если бы я нашел матрицу $A$

Вы думаете, что положительно определённая матрица только одна???

-- 16.01.2023, 22:22 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1577427 писал(а):

Я, по-моему, взял самый простой.

А как Вы базисы упорядочили по "простоте"?

Впрочем, это уже, похоже, оффтоп - слишком далеко от "природы"...

[Vladimir Pliassov]

Geen в сообщении #1577428 писал(а):

Вы думаете, что положительно определённая матрица только одна???

Я думаю, нет, но не знаю, как найти ту единственную, которая соответствует выбранному базису. Она должна быть единственной, потому что координаты по каждому базису единственные (при перемножении векторов в координатной форме через матрицу получается скалярное произведение этих векторов, которое инвариантно). Или что-то не так?

[Geen]

Vladimir Pliassov в сообщении #1577433 писал(а):

Или что-то не так?

Беру _произвольный_ базис. Объявляю матрицей скалярного произведения единичную... - могу? Если нет - то почему?
Беру другой произвольный базис....