Оценка сходимости ряда.

[Maxim19]

Здравствуйте, есть вот такой ряд:

$$\sum\limits_{n=3}^{\infty}(lnlnn)^{-lnn}$$

и надо оценить его сходимость. Критерии не работают. Пишут, что задача лёгкая, но мне тяжеловато работать с такими страшными не "дискретными" формулами. Не серчайте, если решение лёгкое, я правда не вижу способ решения. Это положительный ряд, можно подобрать какой нибудь сходящий ряд, чтобы отношение их членов имело предел или ограниченность, но вот эта форма, что как бы и не геометрическая прогрессия, и не гармонический ряд со степенью. Скорее всего надо интегралом пользоваться, но никак не получается его получить.

[mihaild]

Запишите общий член ряда в виде $\exp(x_n)$, запишите в таком же виде общий член обобщенного гармонического ряда, и сравните.

[Maxim19]

Но ведь там будет $e$ без изменения. Это может как то ближе к прогрессии?

-- 16.01.2023, 14:18 --

Вы имеете ввиду $\frac{e^{lnnlnlnn}}{n^s}$?

[mihaild]

Нет, я имел в виду $(\ln \ln n)^{-\ln n} = \exp(x_n)$, $\frac{1}{n^\alpha} = \exp(y_n)$, и сравнить $x_n$ и $y_n$.
(если перед логарифмом ставить бэкслеш, то формула выглядит чуть лучше)

[thething]

Maxim19
Покажите, что общий член ряда равен $\dfrac{1}{n^{\ln\ln\ln n}}$ и найдите, с какого момента это не превосходит $\dfrac{1}{n^2}$.

[Maxim19]

mihaild
У меня получилось, что предел их отношения равен нулю/бесконечности $x_n=-\ln{n}\ln{\ln{\ln{n}}}$, а $y_n=-a\ln{n}$. Не работает получается сравнение с $\frac{1}{n^a}$?

-- 16.01.2023, 14:36 --

Тем более наверное надо находить разность, так как мы делим одну экспоненту на другую. Я что то не то делаю?

[mihaild]

Maxim19 в сообщении #1577369 писал(а):

Не работает получается сравнение с $\frac{1}{n^a}$?

Почему не работает? Если $\sum a_n$ сходится, и $\frac{b_n}{a_n} \to 0$, то $\sum b_n$ сходится.

[Maxim19]

Да, я перепутал местами в каком случае будет к нулю сходиться. Тогда наверное лучше было бы рассмотреть просто отношение экспонент, и в показателях разность стремилась бы к минус бесконечности, и само бы отношение к нулю. Ничего сложного в этой задаче, стоит запомнить, что если видна степень, сразу стоит в экспоненты делать.

-- 16.01.2023, 15:07 --

Спасибо

[ewert]

(Оффтоп)

thething в сообщении #1577367 писал(а):

Покажите, что общий член ряда равен $\dfrac{1}{n^{\ln\ln\ln n}}$

Один логарифм лишний, хотя это и не важно.

[mihaild]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1577376 писал(а):

Один логарифм лишний

Нет, было два, стало три.

[мат-ламер]

thething в сообщении #1577367 писал(а):

Maxim19
Покажите, что общий член ряда равен $\dfrac{1}{n^{\ln\ln\ln n}}$ и найдите, с какого момента это не превосходит $\dfrac{1}{n^2}$.

Оно то да. Только до этого непонятно как начинающему додуматься.

Можно рассуждать так. Возьмём логарифм от знаменателя нашего ряда - $\ln n \ln \ln \ln n$ . Возьмём логарифм от знаменателя ряда обратных квадратов - $2 \ln n$ . Очевидно, что начиная с некоторого $n$ первый логарифм будет превосходить второй. То, что вообще надо привлекать логарифмы, также нетрудно догадаться, ибо на входе имеем сложные степени.

[krum]

мат-ламер в сообщении #1577389 писал(а):

Только до этого непонятно как начинающему додуматься.

очень просто. Надо только помнить, что $a^b:=e^{b\ln a},\quad a>0,\quad a,b\in\mathbb{R}$

[мат-ламер]

krum в сообщении #1577395 писал(а):

очень просто.

Я не это имел в виду. Доказать это равенство не составит проблем никому, даже начинающему. Проблема в том, чтобы в начале размышлений вообще записать его, то есть вообще пойти по этому пути.

[krum]

мат-ламер в сообщении #1577397 писал(а):

Проблема в том, чтобы в начале размышлений вообще записать его

проблема написать определение?

[mihaild]

мат-ламер в сообщении #1577397 писал(а):

Проблема в том, чтобы в начале размышлений вообще записать его, то есть вообще пойти по этому пути.

ИМХО тут базовая идея - избавиться от ситуации, что переменная и в основании, и в показателе степени. Туда же всякие $\left(x^{x^x}\right)'$.