Вязкость жидкости

[sergey zhukov]

В одной из тем случайно выяснилось, что поля скорости и давления в строго радиальном потоке несжимаемой вязкой жидкости в точности такие, же, как в идеальной жидкости. В этом потоке нет вязкого трения, градиент давления вообще не зависит от вязкости. Так получается из точного решения уравнения Навье-Стокса.Это кажется очень странным.

Известно, что для сжимаемой ньютоновской жидкости есть две характеристики вязкости: сдвиговая и объемная. Сдвиговая вязкость проявляется только для течений, в которых $\operatorname{rot}(u)\ne 0$ и отвечает, по сути, за трение элементов жидкости друг о друга. А объемная вязкость отвечает за потерю энергии при изменении объема элемента жидкости. А почему нет вязкости, которая отвечает за деформацию элемента жидкости?

Скажем, в потенциальных течениях (как, например, радиальное течение) происходит деформация элементов жидкости. Но поскольку она такова, что $\operatorname{rot}(u)=0$, это не приводит к рассеиванию энергии. Почему деформация элемента вязкой жидкости не ведет к потерям энергии?

[Razgulyay]

Для течения несжимаемой вязкой жидкости распределение давления не зависит от вязкости тогда, когда лаплас скорости равен $0$, это видно из уравнения Навье-Стокса. Радиальное течение - именно такой случай. Однако, для вязкой жидкости, тензор напряжений не шаровой:

$$\boldsymbol{\sigma}=-p\boldsymbol{I}+2\mu\boldsymbol{D},\ \ \boldsymbol{D}=\frac{1}{2}\left(\nabla\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}\nabla\right),$$

и его распределение будет зависеть от вязкости. Для радиального течения в ЦСК $v_i = \left\{c/r,0,0\right\}$ и $D_{ij}=\begin{pmatrix} -\frac{c}{r^2} & 0 & 0\\ 0 & \frac{c}{r^2} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Объёмные свойства сжимаемой жидкости (то есть свзяь между шаровыми частями тензоров напряжений и деформаций) обычно бывают или упругими или вязко-упругими. Чисто вязкое объёмное поведение представить себе сложно, это бы означало, что вещество под постоянным давлением неограниченно сжималось бы в точку.

Чтобы показать, что у изотропной линейной сжимаемой упруго-взкой жидкости 2 скалярных характеристики (не обязательно константы, в общем случае - операторы), можно рассмотреть связь между тензором напряжений и всей историей изменения тензора деформаций.

$$\boldsymbol{\sigma}(t) = \boldsymbol{C}(t):\boldsymbol{\varepsilon}(\tau),$$

где $\boldsymbol{C}$ - тензорнозначный 4-го ранга оператор (обычно интегральный). В случае изотропной жидкости, $\boldsymbol{C}$ - изотропный, а всего существует 3 различных изотропных тензоров 4-го ранга, с учётом симметричности $\boldsymbol{\varepsilon}$, остаётся 2 скаляра. Обычно удобно разбить общую связь напряжений - деформаций на связь между шаровыми частями напряжений - деформаций и связь между девиаторными частями напряжений - деформаций.

За деформацию элемента отвечает вторая связь, и в случае чисто вязкого девиаторного поведения эта связь выглядит как $\boldsymbol{s}=\mu\boldsymbol{D},$ где $\boldsymbol{s}$ есть девиатор напряжений. Что касается трения элементов друг о друга, если матрицы компонент тензоров напряжений и деформации скорости $\boldsymbol{D}$ имеют диагональный вид в некотором базисе (орто-нормированном), то в другом базисе (тоже орто-нормированном) они будут иметь недиагональной вид (если только эти тензоры не шаровые). В одном базисе может происходить чистый сдвиг, а в другом - чистое растяжение вдоль направлений базиса. Поэтому и в радиальном течении есть "трение элементов жидкости друг о друга".

Скорость диссипации энергии для линейно вязкой несжимаемой жидкости в точке записывается как $d=\frac{1}{2}\mu\left(\nabla\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}\nabla\right):\left(\nabla\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}\nabla\right)$ и равна $0$ только когда жидкость движется как твёрдое тело, в частности, для радиального течения, диссипация энергии не равна нулю.

[sergey zhukov]

Razgulyay

1. Что значит запись?:

$$\boldsymbol{D}=\frac{1}{2}\left(\nabla\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}\nabla\right),$$

Я так понимаю, что в индексной записи это:

$$D_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i})$$

Разве $\boldsymbol{v}\nabla$, это не дифференциальный оператор?:

$$\boldsymbol{v}\nabla=u_i\frac{\partial}{\partial x_i}$$

2. Что значит запись?:

$$d=\frac{1}{2}\mu\left(\nabla\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}\nabla\right):\left(\nabla\boldsymbol{v} + \boldsymbol{v}\nabla\right)$$

Скажем, у ЛЛ диссипация энергии в точке потока записана, как:

$$\dot E=-\frac{1}{2}\eta \bigl (\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\bigr )^2$$

Я даже это не очень понимаю. Тут сумма по всем возможным комбинациям индексов? Т.е., скажем, в плоском случае в полярных координатах получаем четыре такие скобки в сумме:

$$\dot E=\frac{1}{2}\eta \bigl (\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{\partial u_r}{\partial r} +\frac{\partial u_r}{\partial \varphi}+\frac{\partial u_\varphi}{\partial r} +\frac{\partial u_\varphi}{\partial r}+\frac{\partial u_r}{\partial \varphi} +\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi}+\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi}\bigr )^2=2\eta \bigl (\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{\partial u_r}{\partial \varphi}+\frac{\partial u_\varphi}{\partial r}+\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi}\bigr )^2$$

И для нашего случая:

$$\dot E=2\eta \frac{\partial u_r}{\partial r}^2$$

Мне понятно, что наличие или отсутствие касательных напряжений - это вопрос выбора координат. И что давление - это часть тензора напряжений для вязкой жидкости. Но мне непонятно следующее.

Рассмотрим плоское радиальное течение, в качестве границы возьмем два концентрических круга. Допустим, поток течет снаружи вовнутрь. Зададим радиальную скорость и давление на внешнем круге. Этим сразу определяется радиальная скорость на внутреннем круге и градиент давления (а значит, и давление на внутреннем круге). И все это независимо от вязкости. Значит, мощность, необходимая для поддержания этого потока, постоянна независимо от вязкости. А где же тогда потери энергии на трение?

Или мы не можем одновременно произвольно задавать и давление и скорость на внешнем круге? Т.е. если выбрана некоторая скорость на внешнем круге, то давление на внешнем круге уже определено?

-- 07.01.2023, 18:20 --

Razgulyay
А, я кажется понял. $\textbf D$ тоже содержит диагональные члены, как и $p\textbf I$ т.е. одного давления на границе для вычисления работы и мощности для вязкой жидкости недостаточно. Давление - это теперь только часть нормальных напряжений.

[Razgulyay]

В данном контексте, $\boldsymbol{u}\nabla$ означает сокращённую запись транспонированного градиента скорости, в Декартовой СК

$$ \boldsymbol{u}\nabla = \left(\nabla\boldsymbol{u}\right)^{T} = \left(u_{j,i}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j\right)^{T} = u_{i,j}\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j,$$

здесь и далее базис $\boldsymbol{e}_i$ будет считаться орто-нормированным, запятая в индексе означает производную по соответствующей координате.

Двоеточие означает двойное скалярное произведение, свёртку тензоров

$$\boldsymbol{A}:\boldsymbol{B}=A_{ij}B_{ij}.$$

Тогда в Декартовой СК

$$\dot{E}=-\frac{1}{2}\eta \left(\nabla\boldsymbol{u} + \boldsymbol{u}\nabla\right):\left(\nabla\boldsymbol{u} + \boldsymbol{u}\nabla\right) = -\frac{1}{2}\eta\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\left( u_{j,i} + u_{i,j}} \right)^2.$$

Конечно в ЛЛ авторам следовало явно указать суммирование, так как соглашение о суммировании по повторяющимся индексам здесь не работает.
Однако, компоненты тензора градиента скорости $\nabla\boldsymbol{u}$ в ЦСК выглядят сложнее, вследствие криволинейности ЦСК. В ЦСК

$$\left\{\nabla\boldsymbol{u}\right\}_{ij}=\begin{pmatrix} u_{r,r} & u_{\varphi,r} & u_{z,r}\\ r^{-1}(u_{r,\varphi} - u_{\varphi}) & r^{-1}(u_{\varphi,\varphi} + u_{r}) & r^{-1}u_{z,\varphi}\\ u_{r,z} & u_{\varphi,z} & u_{z,z} \end{pmatrix}.$$

В случае радиального течения, $u_i=\left\{u_r(r),0,0\right\}$ и тогда $\dot{E}=-2\eta \left(u_{r,r}^2 + r^{-2}u_r^2\right)$.

sergey zhukov в сообщении #1576438 писал(а):

$\textbf D$ тоже содержит диагональные члены, как и $p\textbf I$ т.е. одного давления на границе для вычисления работы и мощности для вязкой жидкости недостаточно. Давление - это теперь только часть нормальных напряжений.

Да, для вычисления мощности внешних сил, надо по границам проинтегрировать скалярное произведение векторов усилия и скорости. Вектор усилия на границе выражается через тензор напряжений как $\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{n},\ \ f_i = \sigma_{ij}n_j,$ где $\boldsymbol{n}$ - нормаль к границе. В случае радиального течения несжимаемой вязкой жидкости $f_i = \left\{-p-\eta c/r^2,0,0\right\}$.

[Утундрий]

Я буду пользоваться более человеколюбивыми обозначениями. Итак, пусть у нас имеется система

$$v_{s,s}=0$$

$$v_s v_{i,s}+p_{,i}=v_{i,ss}$$

Здесь всё прямоугольно и декартово, индекс после запятой означает дифференцирование, а по повторяющим индексам производится суммирование. Вязкость не выписываю, просто помню, что она справа.

Рассмотрим радиальное течение, для которого $v_{i,ss}=0$. Тогда слева всё тоже есть нуль и думать о нём не нужно. Справа же можно накомбинировать

$$(v_i v_i)_{,ss}-2v_{i,s}v_{i,s}=0$$

Диссипация - то что с минусом и она не нуль, потому что не нуль то, что с плюсом (его посчитать легче, т.к. оно сводится к интегралу по поверхности, куда нужно подставлять полученную из уравнения неразрывности скорость).

Мораль: диссипация действительно не нуль, а стационарность течения поддерживается закачкой энергии через гран. условия.

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1576438 писал(а):

Т.е., скажем, в плоском случае в полярных координатах получаем четыре такие скобки в сумме:

$$\dot E=\frac{1}{2}\eta \bigl (\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{\partial u_r}{\partial r} +\frac{\partial u_r}{\partial \varphi}+\frac{\partial u_\varphi}{\partial r} +\frac{\partial u_\varphi}{\partial r}+\frac{\partial u_r}{\partial \varphi} +\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi}+\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi}\bigr )^2=2\eta \bigl (\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{\partial u_r}{\partial \varphi}+\frac{\partial u_\varphi}{\partial r}+\frac{\partial u_\varphi}{\partial \varphi}\bigr )^2$$

У вас складываются величины разной размерности.

[sergey zhukov]

Razgulyay
Спасибо. Я просто еще далеко не все обозначения общепринятые знаю (не говоря уже о том, что понимаю).

Но главное я вроде бы понял. В общем случае напряженное состояние в точке потока жидкости описывается тензором напряжений, который можно разложить на сумму шарового тензора и девиатора. Шаровой тензор диагональный, и содержит на диагонали среднее всех нормальных напряжений в точке (это и есть давление), т.е. среднее всех диагональных элементов тензора напряжений. А в девиатор (тензор вязких напряжений) уходит все остальное. Шаровая часть отвечает за изменение объема, девиатор - за деформацию.

Шаровый тензор сводится к единичному тензору, умноженному на скаляр (давление). Т.к. единичный тензор при смене координат сохраняет компоненты неизменными, то шаровый тензор сводится просто к скаляру (давлению).

В любой жидкости нормальные напряжения в точке определяются тензором напряжений. Но в идеальной жидкости это просто шаровый тензор, т.е. одно лишь давление. А в вязкой жидкости это такой же шаровый тензор (т.е. давление) плюс девиатор, который тоже дает вклад в нормальное напряжение.


Да, скажем, $\Delta u$ - это запись, независимая от СК. По определению в Декартовых координатах это $\frac{\partial^2 u_i}{\partial x_i^2}$. Если мы хотим записать это в других координатах, то нужно просто подставить сюда выражения старых координат через новые. Конечно, отсюда и ошибка размерности в моей сумме. Во первых, нужно было квадраты сумм складывать, а не сумму квадратов. Во вторых, нужно было перейти от Декартовых координат к цилиндрическим.


Cкорость диссипации энергии в точке потока (в Декартовых координатах) выражается, значит, через сумму квадратов всевозможных сумм "перекрестных" пар производных вида $(u_{j,i}+u_{i,j})^2$. Среди них встречаются и $i=j$, т.е. производная скорости по направлению самой скорости. Обычно, когда говорят о вязкости и касательных напряжениях, то рассматривают производную скорости в направлении, перпендикулярном этой скорости, а в нашем случае все такие производные равны нулю. Это как-то и сбивало с толку. Но для нашего радиального течения в цилиндрических координатах, где тензор напряжений диагонален, получается, что энергия рассеивается на работе против нормальных напряжений именно за счет производной скорости в направлении скорости. Конечно, в другой СК это уже иначе окажется, т.е. абсолютно разделять напряжения вязкого трения на нормальные и касательные нет смысла, ведь это компоненты тензора. Но вот это было вначале непонятно.

Утундрий
Да, если течение вязкой жидкости такое, что $\Delta u=0$, то оно потенциально, и поле скорости полностью определяется граничными условиями по скорости. Тогда и диссипацию энергии в таком потоке можно посчитать, исходя только из граничных условий по скорости.

У вас получилось, что диссипация зависит от суммы квадратов производных всех компонент скорости по всем направлениям. А у Razgulyay - что она зависит от суммы квадратов сумм двух производных. Я так понимаю, это следствие того, что у Razgulyay формула общего вида, а у вас - только для течения, у которого $\Delta u=0$?

[Утундрий]

sergey zhukov
В целом - да, только одно замечание. Я вот так сходу не уверен, что гармоничность компонент скорости так уж гарантирует потенциальность. Здесь справедливо и то и другое, но и пример игрушечный.

[svv]

Хороший контрпример — такое поле скоростей:
в декартовых координатах $v_x=-cy,\quad v_y=cx,\quad v_z=0$
в цилиндрических координатах $v_\rho=0,\quad v_\varphi=c\rho,\quad v_z=0$
где $c$ — ненулевая константа.
Тогда
$\operatorname{div}\mathbf v=0,\quad \operatorname{rot}\mathbf v=2c\,\mathbf e_z,\quad\Delta\mathbf v=\mathbf 0$

[Утундрий]

svv
Даже твёрдотельное вращение проходит, а я не догадался. Вообще никогда в эту сторону не думал, вот и нет интуиции.

[svv]

Это

Утундрий в сообщении #1576528 писал(а):

Я вот так сходу не уверен, что гармоничность компонент скорости так уж гарантирует потенциальность.

— тоже интуиция!

[sergey zhukov]

svv
Да, в этом случае потенциальность вообще ни при чем. Правильно было бы прямо сказать, что раз $\Delta u=0$, то граничные условия определяют поле скорости согласно теореме о единственности решения задачи Дирихле.

Уравнение Лапласа фактически утверждает, что вектор скорости данного элемента жидкости является средним от векторов скорости всех соседних элементов жидкости. Поэтому утверждение "граница определяет внутренность" выглядит вполне правдоподобно.

[sergey zhukov]

Вообще я тут перепутал две вещи: уравнение Лапласа для потенциала скорости и уравнение Лапласа для самой скорости. Если существует потенциал скорости, то этот потенциал (а не сама скорость) удовлетворяет уравнению Лапласа.

А если сама скорость удовлетворяет уравнению Лапласа, то это вообще никак не пересекается с предыдущим.

[DimaM]

(sergey zhukov)

sergey zhukov в сообщении #1576565 писал(а):

Вообще я тут перепутал две вещи

Это привычно.

sergey zhukov в сообщении #1576565 писал(а):

Вообще я тут перепутал две вещи: уравнение Лапласа для потенциала скорости и уравнение Лапласа для самой скорости. Если существует потенциал скорости, то этот потенциал (а не сама скорость) удовлетворяет уравнению Лапласа.

Еяпп, возможные потенциальные течения вязкой жидкости - это что-то совсем не интересное, вроде постоянной в пространстве скорости. Циркуляция по жидкому контуру строго сохраняется только в идеальной жидкости.