Задача на ранг матрицы.

[Maxim19]

Здравствуйте, попалась такая задача, что вроде бы лёгкая и тему знаю, но не поддаётся. Квадратная матрица $A$ размера $9\times9$ над полем характеристики, отличной от 2, такова, что $A^{2}=E$. Найдите ранг матрицы $E-A$, если известно, что ранг матрицы $E+A$ равен 7.
Из всего я понял, что матрица $E-A$ будет вырожденной, иначе по условию $0=\operatorname{rk}(A^2-E)=\operatorname{rk}(A+E)=7$ если $E-A$ будет невырожденной. Но вот как работать с остальным? Я опять не замечаю какое-то хитрое преобразование?

[мат-ламер]

Как по вашему может выглядеть ЖНФ матрицы $A$ ?

[Maxim19]

Ой, про жорданову форму вообще ничего не знаю, тут как то нельзя через обычные теоремки о ранге и может типо там строки линейно выражаются через другие строки?

[svv]

Раз $A^2=E$, то
1) какие у $A$ могут быть собственные значения?
2) можете ли Вы доказать, что $A$ диагонализируема?

[mihaild]

Нужно всего два свойства: $\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk}(A) + \operatorname{rk}(B) - n$ и $\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk}(A) + \operatorname{rk}(B)$.

[svv]

Ок, тут можно по-разному решать. Мой план был вот какой.
$(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)=0$
Для любого вектора $u\in\mathbb R^n$
$u=\frac 1 2(A+E)u-\frac 1 2(A-E)u,$
где первое слагаемое лежит в $V_{+1}$, а второе в $V_{-1}$ (где $V_\lambda$ собственное подпространство для с.з. $\lambda$).
Значит, $\mathbb R^n=V_{+1}\oplus V_{-1}$ и в нём существует базис из собственных векторов $A$. Соответствующий $A$ линейный оператор в этом базисе представится диагональной матрицей $D$ с $\pm 1$ на диагонали. Так как $D-\lambda E$ и $A-\lambda E$ подобны, их ранги равны.
Попутно мы доказали, что инволюции диагонализируемы.