Касательно теорем Гёделя о неполноте

[Tcirkubakin]

Я изучаю(пытаюсь понять) теоремы Гёделя. Логику изучаю по книге "A Concise Introduction to Mathematical Logic(Wolfgang Rautenberg)"(застрял на четвертом параграфе второй главы). Недавно нашёл, где теоремы, возможно, объясняют доступнее("Gödel’s Incompleteness Theorem" Serafim Batzoglou). В последнее время наткнулся на труд некой "Paola Cattabriga" "опровергающей" теоремы Гёделя(https://www.researchgate.net/publicatio ... del's_1931). К сожалению, мне у неё почти ничего не понятно, но хотелось бы знать где она ошибается, и ошибается ли она? Могу ли я дальше со спокойствием изучать теоремы о неполноте? Благодарю за ответ.

[mihaild]

Есть очень простая эвристика: если 20 лет назад кто-то "опроверг" что-то, про что уже 50 лет пишут в учебниках, и про это продолжают писать в учебниках, то опровергатель не прав. Потому что если бы был прав, то за такое время это стало бы известно.
Разобраться, что там происходит, очень сложно, потому что идут ссылки на оригинальную работу Гёделя, которая написана несколько отличающимся от современного языком. Плюс доказательство с тех пор было очень сильно доработано, современные версии куда проще для понимания (и доказывают на самом деле чуть более сильное утверждение), так что работа Гёделя представляет сейчас только историческую ценность. Есть небольшой шанс, что автор опровержения обнаружил какой-то недочет в оригинальном доказательстве, но этот шанс невелик, и даже если это и так - особого значения в этом нет, даже если (что еще менее вероятно) этот недочёт нельзя легко исправить.

Но если посмотреть на другие статьи того же автора, то там можно найти замечательные рассуждения вроде

Цитата:

If such $b$ exists, from $B \neq \overline{B}$, we obtain $B = g(b) \leftrightarrow \overline{B} \neq g(b)$

Ну и дальше опровергается диагональный аргумент Кантора и доказывается аксиома выбора. Я бы сказал, что это избавляет от необходимости вчитываться в найденную вами статью чтобы сделать достаточно уверенное предположение о её корректности.

Не читайте того, что пишут на заборах. Если что-то непонятно при чтении нормальных учебников - спрашивайте, например здесь, довольно высока вероятность, что помогут разобраться.

[Anton_Peplov]

Tcirkubakin в сообщении #1575065 писал(а):

Недавно нашёл, где теоремы, возможно, объясняют доступнее("Gödel’s Incompleteness Theorem" Serafim Batzoglou)

Самое доступное изложение теорем Геделя (и математической логики вообще), которое мне попадалось, содержится в книги Клини Математическая логика. Я читал ее в переводе на русский, но Вы можете попробовать и англоязычный оригинал, если Вам так удобнее.

Tcirkubakin в сообщении #1575065 писал(а):

хотелось бы знать где она ошибается, и ошибается ли она? Могу ли я дальше со спокойствием изучать теоремы о неполноте?

Главное уже сказал mihaild. От себя добавлю, что теоремы Геделя - излюбленная тема для математических фриков. Наряду с теорией множеств и Великой теоремой Ферма. На эти темы разными сумасшедшими написано огромное количество бреда, и если терять покой от каждого такого текста, Вы все свое время будете тратить на поиски ошибок в этой бредятине. Если математическое сообщество проигнорировало результат, будь то доказательство или опровержение чего-либо, с вероятностью 99,99% никакого результата нет.

[Tcirkubakin]

Благодарю за ответы. В нумерации Гёделя(по крайней мере в работе Серафима Базутоглу (тут или тут) переменным назначаются в качестве номеров Гёделя простые числа, начиная с тринадцати. А последовательности формул(бывает и символов) присваивается номер, согласно Бета функции Гёделя. У меня вопрос. Что-то обязывает этот номер не быть простым числом? Допустим, Бета функция и "pairing function"(процесс кодирования двух натур. чисел в одно с возможностью восстановления;встречается среди англояз. математиков) присваивают последовательности 200-ое простое число. Но это число забронировано под двухсотую переменную. Не будет ли путаницы при восстановлении(переменная или последов. формул)?
Стоит ли мне читать Базутоглу? Или вернуться к Вольфгангу Раутенбергу? Может мне поменять автора на Клини?

[Ende]

Tcirkubakin
Оформляйте гиперссылки правильно. [url=...]текст[/url]. Поправил за Вас.

[Anton_Peplov]

Tcirkubakin в сообщении #1575110 писал(а):

Стоит ли мне читать Базутоглу?

Как правило, незнакомый предмет лучше изучать по учебникам, а не по статьям. Даже если автор статьи заявляет, что нашел самое-самое доказательство. Если в одном учебнике непонятно, возьмите другой. Застряли в Раутенберге - возьмите Клини.

[mihaild]

Tcirkubakin, есть разные способы кодирования. У нас на лекциях ЕМНИП вообще было унарное кодирование с нулями в качестве разделителей. Разные способы кодирования совершенно не обязаны быть совместимы друг с другом.
Присоединяюсь к совету не читать статьи, а взять учебники. Особенно в случае, когда автор не пересказывает хорошо известное, а доказывает новый результат.
А вот переключаться между ними ради одной теоремы лично я не советую (хотя я так себе преподаватель, так что к методическим рекомендациям от меня стоит относиться скептически) - если что-то непонятно в одном-двух местах, то лучше потратить время и разобраться. Если всё из какого-то учебника идет плохо - то может иметь смысл взять другой.

[Tcirkubakin]

Да, "перепрыгивать" между учебниками не хочется. Знаком с книгой Вольфганга уже давно(2 года, хвалили эту книгу на англояз. форумах, как одну из лучших в своём роде). Продвижение, увы, идёт весьма медленно, "со скрипом". Из-за педантичности, не могу себя заставить читать учебник дальше, если не понял вывод хоть какого-то положения, формулы(возможно из-за этого так болезненно реагирую на всяких мат. фриков). Читаю учебник "наскоками"(если долго в чём-то не могу разобраться, на время откладываю, потом читаю вновь). К учебнику идёт дополнение с решениями упражнений(не всех, к сожалению). Изначально(первые три параграфа первой главы) вникал в ответы к упражнениям(т.к сам решить не мог), перетрудился и забросил книгу на довольно длит. время. Когда снова взялся, решил сменить подход: сначала прочитать книгу первый раз без вып. упражнений (некоторые я изучаю, необходимые для полного понимания параграфов), а потом, если получится изучить, то при повторении делать акцент на упражнения. Возможно, сейчас дело пойдет быстрее, т.к как раньше пытался сам "разруливать" непонятные ситуации. Буду осваивать, как здесь писать мат. языком, а потом, надеюсь, выложу свою проблему.
П.С. Если будут возникать доп. вопросы, то для каждого создавать новую тему, или писать уже в существующую?
П.П.С. Недопонимание возникло не с теоремами Гёделя, так как они будут только в 6 и 7 главах.

[пианист]

Tcirkubakin
Самое простое изложение предмета (теорема о неполноте) видел в книжечке Роджерса, рекомендую.
Но, вообще, матлогика наука специфическая, если не увлекает, не стоит себя насиловать.
А упражнения нужны для того, чтобы понять, ясен ли предмет, решать все, что автор удосужился включить в свой текст, совершенно не обязательно.

[Tcirkubakin]

Не отображаются формулы. Где я совершил ошибки?

[math]$$\forall y(y=t\to \alpha \frac{y}{x})\equiv \alpha \frac{t}{x} \equiv \exists y(y=t\,\wedge \, \alpha \frac{y}{x}) \,(y \notin \, \text{var$\alpha,t$})$$[/math]

[math]$$\varphi \frac{y}{x} \frac{t}{y}=\varphi \frac{t}{x}\,\text{for}\,y\notin \, \text{var$\varphi$} $$[/math]

[math]$$ \varphi \frac{t}{x} = \varphi\,\text{for}\,x\notin \, \text{free$\varphi$} $$[/math]

[math]$\frac{t}{x},\,\frac{y}{x}$[/math]

После того, как разберусь, напишу полное сообщение.

[пианист]

(Оффтоп)

Тег код лишний, по-моему.

[svv]

(Оффтоп)

пианист, автор обрамил код тегом код, чтобы показать нам код.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Tcirkubakin
Не нужно нажимать кнопку Code. Просто нажимайте кнопку math перед набором каждой новой формулы и все. Можно просто руками ставить 2 доллара и между ними набирать формулу.

[Tcirkubakin]

Sinoid в сообщении #1575357 писал(а):

(Оффтоп)

Tcirkubakin
Не нужно нажимать кнопку Code. Просто нажимайте кнопку math перед набором каждой новой формулы и все. Можно просто руками ставить 2 доллара и между ними набирать формулу.

Пришлось применить тег "код", т.к. код не отображался. И без этого тега ничего не работало в предпросмотре.

[mihaild]

Нужно экранировать доллары, и нельзя использовать греческие буквы в \text

$$\forall y(y=t\to \alpha \frac{y}{x})\equiv \alpha \frac{t}{x} \equiv \exists y(y=t\,\wedge \, \alpha \frac{y}{x}) \,(y \notin \, \text{var}\$\alpha\text{,t\$})$$

Используется синтаксис LaTeX

\forall y(y=t\to \alpha \frac{y}{x})\equiv \alpha \frac{t}{x} \equiv \exists y(y=t\,\wedge \, \alpha \frac{y}{x}) \,(y \notin \, \text{var}\$\alpha\text{,t\$})

Получается всё равно что-то непонятное, но отображается ровно то, что запрошено.

Если вы хотите написать "$\alpha$, в которой вхождения переменной $x$ заменили на терм $t$", то это обычно записывается как $\alpha[x / t]$.