Вопрос про многочлен над матрицами.

[Maxim19]

Здравствуйте, попалась такая задачка: Квадратная вещественная матрица $A$ такова, что $A^{T}=p(A)$, где $p(x)$ — многочлен с ненулевым свободным членом. Докажите, что $A$ обратима. Верно ли, что для любого оператора $\varphi:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$  найдётся многочлен $p(x)$ и некоторый базис, в котором матрица $\varphi$ удовлетворяет условию $A^{T}=p(A)$?
Что тут подразумевается под многочленом? Коэффициенты могут быть произвольными матрицами или нет? Если у кого-то есть опыт в таких задачах, то подскажите, что подразумевается в этой задаче.

[Padawan]

Скорее всего подразумевается, что коэффициенты - комплексные числа.

[Padawan]

(Оффтоп)

Пытаюсь найти действительные квадратные матрицы $A, B$ такие, что $A^T=BA+E$ и $\det A=0$. Не получается Комплексные -- да. Или если вместо $E$ стоит диагональная не скалярная матрица -- тоже получается.

[krum]

$\mathbb{R}^n=\ker A\oplus\mathrm{im}\,A^T$ при этом всякий ненулевой вектор из $\ker A$ является собственным вектором $A^T$ с ненулевым собств знач

-- 25.12.2022, 12:19 --

многочлен от матрицы это вещь вполне определенная, а в данном случае по контекству это многочлен с действительными коэффициентами

[TOTAL]

$A^{T}=A*(\cdots)+ t*E$
Предполагая существование ненулевого $x$, для которого $xA=0$, приходим к $t*x*x^{T}=0$

[Padawan]

TOTAL
Здорово. Значит, все-таки утверждение верно и для матричного многочлена со скалярным свободным членом.

[svv]

krum в сообщении #1575015 писал(а):

при этом всякий ненулевой вектор из $\ker A$ является собственным вектором $A^T$ с ненулевым собств знач

Очевидно, Вы имели в виду что-то другое...

[krum]

svv в сообщении #1575074 писал(а):

krum в сообщении #1575015 писал(а):

при этом всякий ненулевой вектор из $\ker A$ является собственным вектором $A^T$ с ненулевым собств знач

Очевидно, Вы имели в виду что-то другое...

Почему? именно это. Доказательство от противного называется. Противоречие с предположением $\ker A\ne\{0\}$

[svv]

А, теперь понял, "предположим, что $\ker A\ne\{0\}$".