"Лёгкая" задача про ранг матрицы.

[Maxim19]

Здравствуйте, попалась задача(из лёгкого раздела): матрица порядка $n×n$ с элементами $a_{ij}=(i-j)^2$, надо найти ранг этой матрицы.
Решаю уже достаточно долго и не могу подобраться к ответу. Пытался найти характеристический многочлен выразить и искать кратности корня равного нулю, но вид очень сложный. И определитель не поможет, так как в матрице порядка $4×4$ он равен нулю. Смотря на матрицу не приходит в голову, какое удобство её использовать(кроме как след матрицы равный нулю, но он вроде как тут не особо помогает) Что я упускаю? И напомню, что эта задача почему-то в лёгком отделе.

[ИСН]

Вообразим ребёнка, ничего не знающего о матрицах. Он записывает ряд квадратов натуральных чисел. Под ним записывает ряд его разностей (те растут линейно). Под ними - ряд вторых разностей (они постоянны). Под ними - ряд следующих разностей, и там уже все нули. Обратим внимание, что каждый ноль является какой-то линейной комбинацией четырёх чисел из верхнего ряда.

Вот так бы я и рассуждал.

[Maxim19]

Можете пожалуйста подробнее про ряд вторых разностей и так далее. Я не понял, что вы под этим подразумеваете

[mihaild]

Что будет с рангом, если из каждой строчки, кроме первой, вычесть ту, что над ней? Какая при этом получится матрица?

[TOTAL]

Maxim19 в сообщении #1574793 писал(а):

Можете пожалуйста подробнее про ряд вторых разностей и так далее. Я не понял, что вы под этим подразумеваете

Умножайте на невырожденную матрицу (слева), при этом ранг не изменится. У этой невырожденой в строке, начиная с главной диагонали, стоят: $1, -3, 3,-1$

[Maxim19]

Теперь понял, спасибо.