Распределение вероятностей по вероятности успеха

[melnikoff]

Имеется погнутая и неоднородная монетка. Её кинули 1000 раз. 100 раз она выпала орлом вверх.
Данную серию испытаний можно рассматривать как испытания Бернулли с неизвестной вероятностью успеха $p$ в отдельном испытании.
Спрашивается, можно ли построить распределение вероятностей по вероятностям успеха $p$?
Думаю, что вероятность успеха $p$ в данном случае можно рассматривать как случайную величину (можно ли?)
А значит, должна существовать её функция плотности вероятностей.
Знаю, что можно построить интервальную оценку для $p$, но хочется получить как можно больше информации о $p$.

[mihaild]

Это называется байесовским подходом к статистике. Но для его использования нам нужно какое-то предположение об априорном распределении $p$ (а дальше уже легко считается апостериорное). Потому что если на одном заводе параметр монетки распределен равномерно на $[0, 1]$, а на другом вместо монеток делают кубики, на которых случайно рисуют орлов и решки, то оценки этих монеток будут сильно разные.
Например если априорно $p$ распределено по бета-распределению с параметрами $\alpha, \beta$, то апостериорное распределение будет тоже бета, но с параметрами $\alpha + a, \beta + b$, где $a$ и $b$ - число орлов и решек соответственно.

melnikoff в сообщении #1574393 писал(а):

А значит, должна существовать её функция плотности вероятностей

Вообще не у любой случайной величины есть плотность.

[melnikoff]

Ага, понятно.
А как насчёт такого подхода. Берём много-много выборок размера, скажем, 500 из 1000 испытаний и для каждой такой выборки считаем точечную оценку вероятности успеха $p^* = \frac{\text{кол-во успехов}}{500}$.
Далее, аппроксимируем и нормируем на 1.
Согласуется ли такой подход с байесовским?

[Евгений Машеров]

Вероятность - она одна, следует из физических свойств монеты. Распределения не имеет (ну, формально можно сказать "имеет вырожденное"). Распределение может быть у оценки вероятности. То есть берём, к примеру, в качестве оценки вероятности частость (отношение числа успехов к числу испытаний; есть и другие оценки), получаем случайную величину. Если испытания повторяются (хотя бы мысленно) - уже есть распределение.
Байесовский подход это уже более глубокое понимание явления, в предыдущем мы не знаем ничего, кроме того, что между испытаниями вероятность неизменна. В байесовском у нас есть разные монеты, о них мы знаем, какие вероятности могут попасться (одна честная, вторая "с пружинкой" 60% "орёл", 40% "решка", третья гнутая, 70% "решка", 30% "орёл", четвёртая "двухорловая"), но не знаем, какая выбрана, и определяем по испытаниям.

[mihaild]

melnikoff, это называется bootstrap. И у него (как и у почти всего) есть байесовское обоснование. ЕМНИП, если брать не 500 из 1000, а выбирать 1000, но с повторениями, то итоговое распределение параметра будет ровно таким, как если бы мы честно считали условное его распределение с (несобственным) приором $\text{Beta}(0, 0)$.