Связь пределов с произведениями и уравнителями

[EminentVictorians]

Не могу понять параграф 5.2. Связь пределов с произведениями и уравнителями у Маклейна. Во-первых, как-то туманно написано, а во-вторых, мне кажется, что там есть опечатки.

Маклейн, 5.2. Связь пределов с произведениями и уравнителями, стр. 133. писал(а):

5.2. Связь пределов с произведениями и уравнителями

Предел для функтора $F: J \to Set$ как семейство всех конусов

$$Cone(*, F) \subset \Pi_jF_j$$

можно построить в два этапа. Каждый конус $\sigma$ - это элемент $x$ произведения $\Pi_jF_j$ с проекциями $p_j$; такой элемент является конусом в том случае, когда $(Fu)x_j = x_k$ для каждой стрелки $u: x_j \to x_k$ из $J$; это равносильно требованию, чтобы $x$ лежал в уравнителе стрелок $(Fu)p_j$ и $p_k: \Pi_jF_j \to F_k$. Сформулируем эту процедуру для произвольной категории.

Теорема 1. Пусть в категории $C$ существуют уравнители всех пар морфизмов, а также произведения всех семейств объектов, индексированных объектами и стрелками категории $J$. Тогда в $C$ существует предел любого функтора $F: J \to C$.

Для доказательства нужно поэтапно построить следующую диаграмму (1). Здесь $i$ обозначает объект, а $u:j \to k$ - стрелку в категории индексов $J$. По предположению существуют произведения $\Pi_iF_i$ и $\Pi_uF_k$ и их проекции; второе произведение взято по всем стрелкам $u$ из $J$, причем множитель с индексом $u$ - это значение $F_k = F_{\operatorname{cod} u}$ функтора $F$ на кообласти стрелки $u$.
...

Для начала хотелось бы разобраться с возможными опечатками.

1. Правильно ли я понимаю, что вместо

Цитата:

для каждой стрелки $u: x_j \to x_k$ из $J$;

должно быть "для каждой стрелки $u: j \to k$ из $J$;"?

2. А вот этот фрагмент

Цитата:

это равносильно требованию, чтобы $x$ лежал в уравнителе стрелок $(Fu)p_j$ и $p_k: \Pi_jF_j \to F_k$.

я совсем не понял.

В самом начале параграфа написано "для функтора $F: J \to Set$", поэтому стрелки $Fu$, $p_j$, $p_k$ - это стрелки из $Set$. Но ведь $(Fu)p_j$ и $p_k$ равны как стрелки в $Set$. Это буквально одна и та же стрелка (у нас же предельный конус как никак). Уравнитель может быть у пары параллельных стрелок. Конечно, теоретически, можно рассмотреть уравнитель одной и той же стрелки, взятой $2$ раза, но это какая-то сомнительная (и тривиальная) затея; не похоже, что здесь речь идет об этом (иначе зачем вообще так формулировать?). Более того, у нас же предел функтора $F$. И $J$ - не обязательно дискретная категория. Почему же тогда там написано

Цитата:

стрелок $(Fu)p_j$ и $p_k: \Pi_jF_j \to F_k$.

? Не должно ли вместо $ \Pi_jF_j$ быть $\operatorname{Lim} F$?

[Dragon27]

EminentVictorians в сообщении #1574303 писал(а):

1. Правильно ли я понимаю, что вместо

Цитата:

для каждой стрелки $u: x_j \to x_k$ из $J$;

должно быть "для каждой стрелки $u: j \to k$ из $J$;"?

В английском оригинале именно так.

EminentVictorians в сообщении #1574303 писал(а):

Но ведь $(Fu)p_j$ и $p_k$ равны как стрелки в $Set$. Это буквально одна и та же стрелка (у нас же предельный конус как никак).

Не совсем понял вас. $(Fu)p_j$ и $p_k$ это стрелки из произведения $ \Pi_jF_j$, почему они должны быть равны? Конус же ещё не "подключен" к произведению.

[EminentVictorians]

Dragon27 в сообщении #1574519 писал(а):

Конус же ещё не "подключен" к произведению.

Да, до меня дошло. Мы здесь, грубо говоря, пытаемся "вытащить" из произведения $\Pi_jF_j$ те конусы (с вершиной - одноточечным множеством), которые будут находиться в пределе $\operatorname{Lim} F$. А это будут те $x$, которые находятся в уравнителе стрелок $(Fu)p_j$ и $p_k$.