Компактный оператор

[krum]

Фраза из монографии:

Цитата:

Пусть $T:X\to Y$ компактное отображение банаховых пространств, причем $X$ рефлексивно и сепарабельно. Тогда образ замкнутого единичного шара $T(B)$ компактен в $Y$.

А сепарабельность нужна?

Пусть $\{y_n\}\subset T(B)$ -- последовательность; $y_n=Tx_n,\quad x_n\in B.$ Причем будем считать, что сходящаяся подпоследовательность из $y_n$ уже выбрана, ее будем обозначать также: $Tx_n=y_n\to\tilde y$. надо проверить, что $\tilde y\in T(B)$.
Шар $\sigma(X,X')-$компактен. Из $\{x_n\}$ выделяем подсеть $x_\alpha\to \tilde x\in B$

$$(Tx_\alpha,u)=(x_\alpha,T'u)\to (\tilde x,T'u)=(T\tilde x,u),\quad \forall u\in Y'$$

при этом, $Tx_\alpha\to \tilde y$.

[мат-ламер]

Пока подойдут специалисты, посмотрите теорему 6.9.8 из Богачёва-Смолянова.

[krum]

Да, еще проще, чем я написал.