2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Компактный оператор
Сообщение17.12.2022, 15:41 
Аватара пользователя
Фраза из монографии:
Цитата:
Пусть $T:X\to Y$ компактное отображение банаховых пространств, причем $X$ рефлексивно и сепарабельно. Тогда образ замкнутого единичного шара $T(B)$ компактен в $Y$.

А сепарабельность нужна?

Пусть $\{y_n\}\subset T(B)$ -- последовательность; $y_n=Tx_n,\quad x_n\in B.$ Причем будем считать, что сходящаяся подпоследовательность из $y_n$ уже выбрана, ее будем обозначать также: $Tx_n=y_n\to\tilde y$. надо проверить, что $\tilde y\in T(B)$.
Шар $\sigma(X,X')-$компактен. Из $\{x_n\}$ выделяем подсеть $x_\alpha\to \tilde x\in B$
$$(Tx_\alpha,u)=(x_\alpha,T'u)\to (\tilde x,T'u)=(T\tilde x,u),\quad \forall u\in Y'$$
при этом, $Tx_\alpha\to \tilde y$.

 
 
 
 Re: Компактный оператор
Сообщение17.12.2022, 19:42 
Аватара пользователя
Пока подойдут специалисты, посмотрите теорему 6.9.8 из Богачёва-Смолянова.

 
 
 
 Re: Компактный оператор
Сообщение17.12.2022, 20:05 
Аватара пользователя
Да, еще проще, чем я написал.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group