Простые числа и разбиения (простой вопрос)

[kthxbye]

Бодрого времени суток всем!

Может ли мне кто-нибудь объяснить, связана ли генерация последовательности A227345 с простыми числами?

Дело вот в чем. Пусть $a(n)$ это A227559, второй столбец вышеупомянутой последовательности. Будьте осторожны: оффсет (номер первого члена последовательности) у нее это 3. Так вот, я заметил, что $a(4n+2)=2n+1$ тогда и только тогда, когда $2n+1$ - простое. На всякий случай я проверил приложенный к A227559 б-файл. Встречаются все простые в порядке следования.

И вот, я, собственно, недоумеваю: или же это очевидный факт, ввиду того что генерация A227345 связана с простыми числами, или же прямо противоположное?

Буду очень признателен за разъяснение.

[ИСН]

У Вас, kthxbye, темы бывают порой умные и глубокие, но всегда какие-то вязкие. Через них надо продираться, чтобы прочесть. Не знаю, как ещё назвать. Извините, если что не так.

А когда продрались, то видим: что такое разбиение с границей 2? Это значит, что два слагаемых в разбиении (кстати, отсюда ясно, что их не менее двух) не имеют двух соседей. По-любому таковы наименьшее и наибольшее. Если никого, кроме них, нету, то больше ничего и не надо. Любое разбиение на два слагаемых годится. Сколько таких разбиений - посчитать легко.

Что же будет, если есть ещё какие-то слагаемые? А то, что они обязаны иметь двух соседей. А те соседи тоже обязаны иметь двух соседей, если только они не стоят на самом краю, и в итоге все слагаемые стоят, прижавшись друг к другу. То есть мы пытаемся представить наше число в виде суммы нескольких (более двух) чисел, идущих подряд. Чему равна такая сумма, скажем, если слагаемые идут от $n+1$ до $m$? Очевидно, разности двух треугольных чисел: ${m(m+1)\over2}-{n(n+1)\over2}={m^2+m-n^2-n\over2}={(m-n)(m+n+1)\over2}$. Вот в таком виде, выходит, мы хотим представить наше число. Удивительно ли, если результат (A111775) имеет некоторое отношение к его простоте?

Формулу можете добавить в OEIS.